Номер 70, страница 123 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Молекулярная физика и термодинамика. Молекулярная физика. 16. Газовые законы. Олимпиадные задачи - номер 70, страница 123.

Условие.

O-70. Какое наибольшее давление можно измерить с помощью U-образных ртутных манометров, соединенных последовательно короткой трубкой, если каждый из них позволяет измерить давление до $10^5$ Па?

☑ $ 1,41 \cdot 10^5$ Па.

Решение. Ртутный U-образный манометр (рис. а) измеряет избыточное давление $\Delta p$, т. е. показывает, на сколько давление $\text{p}$ в левом колене манометра больше атмосферного давления $p_0$.

Рис. а

Рис. б

Ограничение на диапазон значений измеряемого избыточного давления накладывается длиной трубок манометра. Нельзя измерить избыточное давление больше такого, при котором ртуть доходит до края правого (по рисунку) колена. Предельное значение измеряемого избыточного давления для используемого манометра равно $10^5$ Па.

При последовательном соединении двух манометров (рис. б) избыточное давление $\Delta p_1$ в левом колене манометра 1 будет больше $\rho g H$, так как давление $p_2$ в левом колене манометра 2 больше атмосферного на величину $\rho g h$: $p_2 = p_0 + \rho g h$. Поэтому $\Delta p_1 = \rho g (H + h)$.

Сжатый воздух в левом колене манометра 2 занимает объем $V = S \frac{H+h}{2}$, где $\text{S}$ — площадь сечения трубок.

Первоначально этот воздух занимал объем $V = S \frac{H}{2}$ в правом колене манометра 1 и такой же объем в левом колене манометра 2 и давление этого воздуха было равно атмосферному ($p_0$). Полагая сжатие воздуха изотермическим, можно применить закон Бойля-Мариотта:

$\frac{p_2}{p_0} = \frac{SH}{\frac{1}{2}S(H+h)}$, откуда $p_2 = 2p_0 \frac{H}{H+h}$.

Умножив числитель и знаменатель в правой части этого равенства на $\rho g$, получаем:

$p_2 = 2p_0 \frac{\rho g h}{\rho g H + \rho g h} = 2 \frac{p_0^2}{p_0 + \rho g h}$, откуда $p_2 = p_0 \sqrt{2}$.

Так как $p_1 = p_0 + p_2$, то $\Delta p_1 = p_2 \approx 10^5 \cdot \sqrt{2}$ (Па).

Решение.

Дано:

Максимальное избыточное давление для одного манометра: $\Delta p_{один} = 10^5$ Па.

Найти:

Максимальное избыточное давление, которое можно измерить системой из двух манометров, $\Delta p_{система}$.

Решение:

Рассмотрим систему из двух U-образных манометров, соединенных последовательно, как показано на рисунке б. Пусть $p_1$ – измеряемое давление, $p_2$ – давление воздуха, запертого между манометрами, и $p_0$ – атмосферное давление.

Для второго манометра, правое колено которого открыто в атмосферу, разность давлений $p_2 - p_0$ уравновешивается столбом ртути высотой $h$. Таким образом, давление $p_2$ связано с $h$ соотношением:

$p_2 = p_0 + \rho g h$

где $\rho$ – плотность ртути, а $g$ – ускорение свободного падения.

Запертый между манометрами воздух сжимается. Его начальное давление было $p_0$. Применим к нему закон Бойля-Мариотта. В условии задачи используется соотношение, которое приводит к следующей формуле для давления $p_2$:

$p_2 = 2p_0 \frac{H}{H+h}$

где $H$ – максимальная разность уровней ртути, которую может показать один манометр. Умножим числитель и знаменатель в правой части этого равенства на $\rho g$:

$p_2 = 2p_0 \frac{\rho g H}{\rho g H + \rho g h}$

Из условия задачи известно, что максимальное избыточное давление для одного манометра составляет $10^5$ Па. Это соответствует максимальной разности уровней $H$, то есть $\rho g H = 10^5$ Па. Будем считать, что эта величина приблизительно равна атмосферному давлению: $p_0 \approx \rho g H \approx 10^5$ Па. Также из уравнения для второго манометра имеем $\rho g h = p_2 - p_0$.

Подставив эти приближения и выражения в формулу для $p_2$, получаем:

$p_2 \approx 2p_0 \frac{p_0}{p_0 + (p_2 - p_0)} = \frac{2p_0^2}{p_2}$

Отсюда находим квадратное уравнение для $p_2$:

$p_2^2 = 2p_0^2$

Решением, имеющим физический смысл, является $p_2 = p_0 \sqrt{2}$.

Максимальное измеряемое давление $p_1$ достигается, когда один из манометров достигает своего предела, то есть разность уровней в нем становится равной $H$. Проверим состояние второго манометра: разность уровней в нем $h = \frac{p_2 - p_0}{\rho g} = \frac{p_0(\sqrt{2}-1)}{\rho g} = H(\sqrt{2}-1) \approx 0.41H$. Так как $h < H$, второй манометр не достиг своего предела.

Следовательно, предел измерения системы определяется первым манометром, когда разность давлений на его концах достигает максимального значения: $p_{1,max} - p_2 = \rho g H \approx p_0$.

Искомое максимальное избыточное давление, измеряемое системой, равно $\Delta p_{система} = p_{1,max} - p_0$.

$\Delta p_{система} = (p_2 + p_0) - p_0 = p_2$

Таким образом, максимальное избыточное давление, которое можно измерить, равно промежуточному давлению $p_2$ в тот момент, когда первый манометр достигает своего предела.

$\Delta p_{система} = p_2 = p_0 \sqrt{2} \approx 10^5 \text{ Па} \cdot \sqrt{2} \approx 1.41 \cdot 10^5 \text{ Па}$.

Ответ: $1.41 \cdot 10^5$ Па.