Номер 16.12, страница 122 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 16. Газовые законы. Молекулярная физика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 16.12, страница 122.

Условие.

16.12. Компрессор нагнетает воздух в резервуар емкостью $\text{V}$, захватывая при каждом качании объем воздуха $\Delta V$. Первоначально давление в резервуаре равно атмосферному $p_a$. Какое давление $p_N$ установится в резервуаре после $\text{N}$ качаний компрессора? Считайте, что температура воздуха при сжатии не изменяется.

☑ $p_N = p_a(1 + N \cdot \Delta V/V)$

Решение. Фактически речь идет об изотермическом сжатии порции воздуха, которая при атмосферном давлении занимала объем $V + N \cdot \Delta V$, до объема $\text{V}$.

Согласно закону Бойля-Мариотта $p_N V = p_a (V + N \cdot \Delta V)$, откуда $p_N = p_a (1 + N \cdot \Delta V/V)$. Таким образом, с каждым качанием компрессора давление возрастает на одну и ту же величину $p_a \cdot \Delta V/V$.

Решение.

Дано:

Емкость резервуара: $V$

Объем воздуха, захватываемый за одно качание: $ΔV$

Начальное (атмосферное) давление: $p_a$

Число качаний: $N$

Температура постоянна: $T = \text{const}$

Найти:

Давление в резервуаре после $N$ качаний: $p_N$

Решение:

Согласно условию задачи, температура воздуха при сжатии не изменяется. Следовательно, процесс является изотермическим. Для изотермического процесса справедлив закон Бойля–Мариотта, который утверждает, что для данной массы газа произведение давления на объем есть величина постоянная ($pV = \text{const}$).

Рассмотрим всю массу воздуха, которая окажется в резервуаре после $N$ качаний. Эта масса состоит из воздуха, который был в резервуаре изначально, и воздуха, который был закачан компрессором.

1. Изначально в резервуаре объемом $V$ находился воздух при атмосферном давлении $p_a$.

2. За $N$ качаний компрессор захватил $N$ порций воздуха объемом $ΔV$ каждая. Суммарный объем этого воздуха при атмосферном давлении $p_a$ составляет $N \cdot ΔV$.

Таким образом, если бы вся масса воздуха, оказавшаяся в итоге в резервуаре, находилась при атмосферном давлении $p_a$, она занимала бы объем $V_1$, равный сумме начального объема и объема закачанного воздуха:

$V_1 = V + N \cdot ΔV$

Это начальное состояние системы (весь газ при давлении $p_1 = p_a$ и объеме $V_1$).

В конечном состоянии эта масса воздуха сжата до объема резервуара $V_2 = V$, а ее давление равно искомому давлению $p_N$.

Применим закон Бойля–Мариотта ($p_1V_1 = p_2V_2$):

$p_a \cdot V_1 = p_N \cdot V_2$

Подставим выражения для объемов:

$p_a \cdot (V + N \cdot ΔV) = p_N \cdot V$

Теперь выразим конечное давление $p_N$:

$p_N = \frac{p_a \cdot (V + N \cdot ΔV)}{V}$

Разделив выражение в скобках на $V$, получим окончательную формулу:

$p_N = p_a \cdot (\frac{V}{V} + \frac{N \cdot ΔV}{V})$

$p_N = p_a(1 + N \frac{ΔV}{V})$

Ответ: Давление, которое установится в резервуаре после $N$ качаний компрессора, равно $p_N = p_a(1 + N \frac{ΔV}{V})$.