Номер 16.13, страница 123 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 16. Газовые законы. Молекулярная физика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 16.13, страница 123.

Условие.

16.13.Один моль идеального газа переводят из состояния 1 в состояние 2 (см. рисунок). Найдите максимальную температуру $T_{max}$ газа в ходе процесса.

☑ $T_{max} = \frac{9p_0V_0}{4VR}$, где $v = 1$ моль.

Решение. Поскольку $T = pV/vR$, следует отыскать наибольшее значение произведения $pV$ в ходе процесса. Уравнение прямой, на которой лежит отрезок 1-2, имеет вид $p/p_0 + V/V_0 = 3$; следовательно (см. математическое приложение), наибольшее значение произведения $\frac{p}{p_0} \cdot \frac{V}{V_0}$ равно $\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$. Отсюда $T_{max} = \frac{9p_0V_0}{4VR}$.

Решение.

Дано:

Идеальный газ

Количество вещества: $\nu = 1$ моль

Состояние 1: $p_1 = 2p_0, V_1 = V_0$

Состояние 2: $p_2 = p_0, V_2 = 2V_0$

Найти:

$T_{max}$

Решение:

Температура идеального газа связана с его давлением и объемом через уравнение состояния Менделеева-Клапейрона:

$pV = \nu RT$

Отсюда температура $T = \frac{pV}{\nu R}$. Так как $\nu$ (количество вещества) и $R$ (универсальная газовая постоянная) являются константами, температура $T$ прямо пропорциональна произведению давления $p$ на объем $V$. Следовательно, для нахождения максимальной температуры $T_{max}$ необходимо найти максимальное значение произведения $pV$ в ходе процесса 1-2.

Процесс 1-2 на диаграмме p-V представляет собой отрезок прямой, проходящий через точки $(V_1, p_1) = (V_0, 2p_0)$ и $(V_2, p_2) = (2V_0, p_0)$. Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид:

$\frac{p - p_1}{V - V_1} = \frac{p_2 - p_1}{V_2 - V_1}$

Подставим координаты точек 1 и 2:

$\frac{p - 2p_0}{V - V_0} = \frac{p_0 - 2p_0}{2V_0 - V_0} = \frac{-p_0}{V_0}$

Выразим давление $p$ как функцию объема $V$:

$p - 2p_0 = -\frac{p_0}{V_0}(V - V_0)$

$p(V) = 2p_0 - \frac{p_0}{V_0}V + \frac{p_0}{V_0}V_0 = 3p_0 - \frac{p_0}{V_0}V$

Теперь выразим произведение $pV$ как функцию от $V$:

$f(V) = pV = (3p_0 - \frac{p_0}{V_0}V)V = 3p_0V - \frac{p_0}{V_0}V^2$

Для нахождения максимума этой функции найдем ее производную по $V$ и приравняем к нулю:

$f'(V) = \frac{d(pV)}{dV} = 3p_0 - 2\frac{p_0}{V_0}V$

$f'(V) = 0 \implies 3p_0 - 2\frac{p_0}{V_0}V = 0$

$2\frac{p_0}{V_0}V = 3p_0$

Отсюда находим объем $V$, при котором достигается максимум произведения $pV$:

$V = \frac{3p_0V_0}{2p_0} = \frac{3}{2}V_0$

Этот объем находится в пределах процесса, так как $V_0 < \frac{3}{2}V_0 < 2V_0$.

Найдем максимальное значение произведения $(pV)_{max}$, подставив $V = \frac{3}{2}V_0$ в выражение для $p(V)$ и затем вычислив произведение:

$p(\frac{3}{2}V_0) = 3p_0 - \frac{p_0}{V_0}(\frac{3}{2}V_0) = 3p_0 - \frac{3}{2}p_0 = \frac{3}{2}p_0$

$(pV)_{max} = (\frac{3}{2}p_0)(\frac{3}{2}V_0) = \frac{9}{4}p_0V_0$

Теперь можем найти максимальную температуру:

$T_{max} = \frac{(pV)_{max}}{\nu R} = \frac{\frac{9}{4}p_0V_0}{\nu R} = \frac{9p_0V_0}{4\nu R}$

По условию $\nu = 1$ моль, поэтому:

$T_{max} = \frac{9p_0V_0}{4R}$

Ответ: $T_{max} = \frac{9p_0V_0}{4\nu R}$