Номер 16.14, страница 123 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Молекулярная физика и термодинамика. Молекулярная физика. 16. Газовые законы. Упражнения - номер 16.14, страница 123.

Условие.

16.14. Какова температура идеального газа в состоянии 2 (см. рисунок), если состояния 2 и 4 лежат на одной изотерме? Температуры $T_1$ и $T_3$ в состояниях 1 и 3 считайте заданными.

☑ $T_2 = \sqrt{T_1 T_3}$.

Решение. Согласно уравнению Клапейрона $ \frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2} = \frac{p_3 V_3}{T_3} = \frac{p_4 V_4}{T_4} $. Из графика процесса следует, что $p_2 = p_3$, $p_4 = p_1$, $V_2 = V_1$, $V_4 = V_3$. Учитывая, что $T_4 = T_2$, приходим к системе двух уравнений $ \frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_3 V_1}{T_2} $, $ \frac{p_3 V_3}{T_3} = \frac{p_1 V_3}{T_2} $. Перемножая почленно эти уравнения, получаем $T_1 T_3 = T_2^2$.

Решение.

Дано:

Идеальный газ

Циклический процесс 1-2-3-4-1

Температуры в состояниях 1 и 3: $T_1$, $T_3$

Состояния 2 и 4 лежат на одной изотерме, следовательно, $T_2 = T_4$

Из графика:

Процесс 1-2 – изохорный, $V_1 = V_2$

Процесс 2-3 – изобарный, $p_2 = p_3$

Процесс 3-4 – изохорный, $V_3 = V_4$

Процесс 4-1 – изобарный, $p_4 = p_1$

Найти:

$T_2$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Клапейрона) для постоянной массы газа, которое связывает параметры двух состояний:

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$

Запишем это уравнение для каждого из четырех процессов в цикле:

1. Для перехода из состояния 1 в состояние 2: $\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$

2. Для перехода из состояния 2 в состояние 3: $\frac{p_2 V_2}{T_2} = \frac{p_3 V_3}{T_3}$

3. Для перехода из состояния 3 в состояние 4: $\frac{p_3 V_3}{T_3} = \frac{p_4 V_4}{T_4}$

4. Для перехода из состояния 4 в состояние 1: $\frac{p_4 V_4}{T_4} = \frac{p_1 V_1}{T_1}$

Рассмотрим уравнения для переходов 1-2 и 3-4, используя данные из условия и графика.

Для перехода 1-2, учтем, что $V_1 = V_2$ (изохорный процесс) и $p_2 = p_3$ (следующий процесс изобарный):

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_3 V_1}{T_2}$

Сократив объем $V_1$, получим первое уравнение:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_3}{T_2} \implies \frac{p_1}{p_3} = \frac{T_1}{T_2}$ (1)

Для перехода 3-4, учтем, что $V_3 = V_4$ (изохорный процесс), $p_4 = p_1$ (следующий процесс изобарный) и $T_2 = T_4$ (состояния на одной изотерме):

$\frac{p_3 V_3}{T_3} = \frac{p_1 V_3}{T_2}$

Сократив объем $V_3$, получим второе уравнение:

$\frac{p_3}{T_3} = \frac{p_1}{T_2} \implies \frac{p_1}{p_3} = \frac{T_2}{T_3}$ (2)

Теперь приравняем правые части уравнений (1) и (2), так как их левые части равны:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{T_2}{T_3}$

Выразим отсюда $T_2^2$:

$T_2^2 = T_1 T_3$

Извлекая квадратный корень, находим искомую температуру $T_2$:

$T_2 = \sqrt{T_1 T_3}$

Ответ: $T_2 = \sqrt{T_1 T_3}$