Номер 16.9, страница 121 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 16. Газовые законы. Молекулярная физика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 16.9, страница 121.

Условие.

16.9. Поршень в цилиндре с газом неплотно прилегает к стенке и пропускает газ наружу. На рисунке показана зависимость объема газа от температуры при изобарном процессе. Укажите направление процесса.

☑ От точки 2 к точке 1.

Указание. Из уравнения Менделеева–Клапейрона следует, что угловой коэффициент изобары прямо пропорционален массе газа, поскольку $\frac{V}{T} = \frac{mR}{Mp}$ Поэтому для сравнения массы газа в состояниях 1 и 2 достаточно провести через точки 1 и 2 изобары (см. рисунок).

Решение.

Дано:

Изобарный процесс, $P = \text{const}$

Поршень негерметичен, газ выходит наружу (масса $m$ может уменьшаться)

График зависимости объема $V$ от температуры $T$.

Найти:

Направление процесса.

Решение:

Запишем уравнение состояния идеального газа, известное как уравнение Менделеева-Клапейрона:

$PV = \frac{m}{M}RT$

где $P$ – давление, $V$ – объем, $m$ – масса газа, $M$ – молярная масса газа, $R$ – универсальная газовая постоянная, а $T$ – абсолютная температура.

По условию, процесс является изобарным, что означает постоянство давления ($P = \text{const}$). Преобразуем уравнение, выразив из него отношение объема к температуре:

$\frac{V}{T} = \frac{mR}{MP}$

В правой части уравнения величины $R$, $M$ и $P$ являются постоянными. Следовательно, отношение $\frac{V}{T}$ прямо пропорционально массе газа $m$:

$\frac{V}{T} \propto m$

Если бы масса газа оставалась постоянной, то график зависимости $V$ от $T$ был бы прямой линией, проходящей через начало координат. Однако, на представленном рисунке график является отрезком прямой, который не проходит через начало координат. Это указывает на то, что масса газа в ходе процесса изменяется.

Для определения направления процесса необходимо сравнить массу газа в начальном и конечном состояниях. Сравним массы газа в точках 1 и 2, проанализировав отношение $\frac{V}{T}$ для каждой из них. Геометрически, это отношение равно тангенсу угла наклона луча, проведенного из начала координат в соответствующую точку на графике.

Из графика видно, что точки 1 и 2 лежат на прямой, которая при экстраполяции пересекает ось объемов V в положительной точке. Уравнение такой прямой имеет вид $V = aT + b$, где $a$ – наклон самого отрезка ($a > 0$), а $b$ – точка пересечения с осью V ($b > 0$).

Рассмотрим отношение $\frac{V}{T}$ для точек на этой прямой:

$\frac{V}{T} = \frac{aT + b}{T} = a + \frac{b}{T}$

Из графика следует, что температура в состоянии 2 больше, чем в состоянии 1, то есть $T_2 > T_1$. Поскольку $b > 0$, то с ростом температуры $T$ значение дроби $\frac{b}{T}$ уменьшается. Следовательно, выполняется неравенство:

$a + \frac{b}{T_2} < a + \frac{b}{T_1}$

Это эквивалентно неравенству:

$\frac{V_2}{T_2} < \frac{V_1}{T_1}$

Так как отношение $\frac{V}{T}$ пропорционально массе $m$, мы можем заключить, что масса газа в состоянии 2 меньше, чем в состоянии 1:

$m_2 < m_1$

По условию задачи поршень пропускает газ наружу, что означает, что масса газа в цилиндре может только уменьшаться. Следовательно, процесс должен протекать от состояния с большей массой (состояние 1) к состоянию с меньшей массой (состояние 2).

Ответ: Процесс идет от точки 1 к точке 2.