Номер 16.7, страница 120 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Молекулярная физика и термодинамика. Молекулярная физика. 16. Газовые законы. Упражнения - номер 16.7, страница 120.

Условие.

16.7. Как менялось давление идеального газа в ходе процесса, график которого изображен на рисунке? Укажите точки на графике, соответствующие наибольшему и наименьшему давленню.

Решение. Проведем через различные точки графика изобары (см. рисунок). Наибольшему давлению соответствует самая нижняя изобара, поэтому такое давление соответствует нижней точке касания B. Наименьшее давление соответствует верхней точке касания A. Таким образом, на участке ACB давление газа возрастает, а на участке BDA — убывает.

Решение.

Решение

Для анализа процесса воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева-Клапейрона):

$PV = \nu RT$

где $P$ — давление, $V$ — объем, $T$ — абсолютная температура, $\nu$ — количество вещества газа, $R$ — универсальная газовая постоянная.

График процесса представлен в координатах $V(T)$. Выразим из уравнения зависимость $V$ от $T$:

$V = \frac{\nu R}{P} T$

Это уравнение имеет вид линейной функции $y=kx$, где $y=V$, $x=T$. Коэффициент пропорциональности (угловой коэффициент) $k$ равен:

$k = \frac{V}{T} = \frac{\nu R}{P}$

Геометрически коэффициент $k$ представляет собой тангенс угла наклона прямой, проходящей через начало координат и точку $(T, V)$ на графике. Так как количество вещества $\nu$ и постоянная $R$ не меняются, то угловой коэффициент $k$ обратно пропорционален давлению $P$:

$P = \frac{\nu R}{k}$

Это означает, что:

• максимальному давлению ($P_{max}$) соответствует минимальный угловой коэффициент ($k_{min}$);
• минимальному давлению ($P_{min}$) соответствует максимальный угловой коэффициент ($k_{max}$).

Проведем из начала координат лучи, касательные к графику процесса.

Точка касания $A$ соответствует лучу с наибольшим углом наклона к оси $T$, то есть максимальному значению коэффициента $k$. Следовательно, в точке $A$ давление наименьшее.

Точка касания $B$ соответствует лучу с наименьшим углом наклона к оси $T$, то есть минимальному значению коэффициента $k$. Следовательно, в точке $B$ давление наибольшее.

Теперь проанализируем изменение давления по циклу, двигаясь по направлению стрелок:

• На участке $ACB$ (верхняя дуга) происходит движение от точки $A$ к точке $B$. Угловой коэффициент $k$ (наклон луча из начала координат) уменьшается от своего максимального значения до минимального. Поскольку давление обратно пропорционально $k$, на этом участке давление возрастает от $P_{min}$ до $P_{max}$.
• На участке $BDA$ (нижняя дуга) происходит движение от точки $B$ к точке $A$. Угловой коэффициент $k$ увеличивается от своего минимального значения до максимального. Следовательно, на этом участке давление убывает от $P_{max}$ до $P_{min}$.

Ответ: Наибольшему давлению соответствует точка $B$, в которой касательная, проведенная из начала координат, имеет наименьший угол наклона. Наименьшему давлению соответствует точка $A$, где касательная из начала координат имеет наибольший угол наклона. На участке $ACB$ давление возрастает, а на участке $BDA$ – убывает.