Номер 69, страница 117 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 15. Уравнение состояния идеального газа. Молекулярная физика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 69, страница 117.

Условие.

О-69. Герметически закрытый бак высотой $h = 5,0 \text{ м}$ заполнен водой доверху. На дне его находятся два одинаковых пузырька воздуха. Давление на дно бака $p_0 = 0,15 \text{ МПа}$. Каким станет это давление, если всплывет один пузырек? оба пузырька? Стенки бака считайте абсолютно жесткими, воду — несжимаемой.

☑ $p=\frac{1}{2}(\rho gh + p_0 + \sqrt{p_0^2 + (\rho gh)^2})=0,18 \text{ МПа}; p=0,20 \text{ МПа}$

Указание. Ситуация, когда всплывают оба пузырька, фактически не отличается от рассмотренной в задаче О-68. Если же всплывает только один пузырек, должен оставаться неизменным суммарный объем пузырьков.

Решение.

Если всплывет один пузырек

Дано:

$h = 5,0 \text{ м}$
$p_0 = 0,15 \text{ МПа}$
$\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)
$g \approx 10 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

$p_0 = 0,15 \cdot 10^6 \text{ Па} = 1,5 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Найти:

$p_1$ - новое давление на дне бака.

Решение:

Поскольку бак герметично закрыт и его стенки абсолютно жесткие, его объем постоянен. Вода считается несжимаемой, поэтому ее объем также постоянен. Из этого следует, что суммарный объем, занимаемый пузырьками воздуха, должен оставаться неизменным в процессе их перемещения.

В начальном состоянии на дне находятся два одинаковых пузырька. Давление на дне равно $p_0$. Пусть объем каждого пузырька в начальном состоянии равен $V_0$. Тогда суммарный начальный объем воздуха $V_{общ.нач.} = 2V_0$.

После того как один пузырек всплывет наверх, а другой останется на дне, установится новое давление на дне $p_1$. Давление на поверхности воды (на глубине 0) будет равно давлению внутри всплывшего пузырька: $p_{верх} = p_1 - \rho g h$.

Будем считать процесс изотермическим, тогда для каждого пузырька можно применить закон Бойля-Мариотта ($PV = \text{const}$).

Для пузырька, оставшегося на дне, его новый объем $V_{низ}$ будет связан с начальным объемом $V_0$ соотношением: $p_1 V_{низ} = p_0 V_0 \implies V_{низ} = \frac{p_0 V_0}{p_1}$

Для пузырька, всплывшего наверх, его новый объем $V_{верх}$ будет: $p_{верх} V_{верх} = p_0 V_0 \implies (p_1 - \rho g h) V_{верх} = p_0 V_0 \implies V_{верх} = \frac{p_0 V_0}{p_1 - \rho g h}$

Суммарный объем воздуха в конечном состоянии $V_{общ.кон.} = V_{низ} + V_{верх}$. Так как суммарный объем воздуха не меняется, $V_{общ.кон.} = V_{общ.нач.}$: $\frac{p_0 V_0}{p_1} + \frac{p_0 V_0}{p_1 - \rho g h} = 2V_0$

Сократим на $V_0$ (объем пузырька не равен нулю): $\frac{p_0}{p_1} + \frac{p_0}{p_1 - \rho g h} = 2$

Приведем к общему знаменателю и решим уравнение относительно $p_1$:
$p_0(p_1 - \rho g h) + p_0 p_1 = 2p_1(p_1 - \rho g h)$
$2p_0 p_1 - p_0 \rho g h = 2p_1^2 - 2p_1 \rho g h$
$2p_1^2 - 2p_1(p_0 + \rho g h) + p_0 \rho g h = 0$

Это квадратное уравнение относительно $p_1$. Решим его с помощью формулы для корней: $p_1 = \frac{2(p_0 + \rho g h) \pm \sqrt{4(p_0 + \rho g h)^2 - 4 \cdot 2 \cdot p_0 \rho g h}}{4}$
$p_1 = \frac{p_0 + \rho g h \pm \sqrt{(p_0 + \rho g h)^2 - 2p_0 \rho g h}}{2}$
$p_1 = \frac{p_0 + \rho g h \pm \sqrt{p_0^2 + (\rho g h)^2}}{2}$

Физический смысл имеет только решение со знаком "+", так как давление на поверхности $p_{верх} = p_1 - \rho g h$ должно быть положительным. Решение со знаком "–" приводит к отрицательному давлению на поверхности, что невозможно. $p_1 = \frac{1}{2}(p_0 + \rho g h + \sqrt{p_0^2 + (\rho g h)^2})$

Найдем гидростатическое давление столба воды: $\rho g h = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 5,0 \text{ м} = 50000 \text{ Па} = 0,05 \text{ МПа}$

Подставим числовые значения: $p_1 = \frac{1}{2}(0,15 \text{ МПа} + 0,05 \text{ МПа} + \sqrt{(0,15 \text{ МПа})^2 + (0,05 \text{ МПа})^2})$
$p_1 = \frac{1}{2}(0,20 + \sqrt{0,0225 + 0,0025}) = \frac{1}{2}(0,20 + \sqrt{0,025})$
$p_1 \approx \frac{1}{2}(0,20 + 0,1581) = \frac{0,3581}{2} \approx 0,179 \text{ МПа}$

Округляя, получаем $p_1 \approx 0,18 \text{ МПа}$.

Ответ: давление на дне бака станет равным $p_1 \approx 0,18 \text{ МПа}$.

Если всплывут оба пузырька

Дано:

$h = 5,0 \text{ м}$
$p_0 = 0,15 \text{ МПа}$
$\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$
$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

$p_0 = 1,5 \cdot 10^5 \text{ Па}$
$\rho g h = 0,05 \text{ МПа} = 0,5 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Найти:

$p_2$ - новое давление на дне бака.

Решение:

В этом случае оба пузырька оказываются на поверхности воды. Пусть новое давление на дне будет $p_2$, тогда давление на поверхности станет $p_{верх} = p_2 - \rho g h$.

Суммарный объем воздуха по-прежнему должен оставаться постоянным и равным начальному объему двух пузырьков на дне: $V_{общ.кон.} = 2V_0$.

Рассмотрим весь воздух из двух пузырьков как единую систему. Начальное состояние: суммарный объем $2V_0$ при давлении $p_0$. Конечное состояние: суммарный объем $V_{общ.кон.}$ при давлении $p_{верх}$. По закону Бойля-Мариотта: $p_0 \cdot (2V_0) = p_{верх} \cdot V_{общ.кон.}$

Подставим условие сохранения объема $V_{общ.кон.} = 2V_0$: $p_0 \cdot (2V_0) = p_{верх} \cdot (2V_0)$

Отсюда следует, что давление на поверхности воды в конечном состоянии должно быть равно начальному давлению на дне: $p_{верх} = p_0$

Зная связь между давлением на дне и на поверхности, найдем новое давление на дне $p_2$: $p_2 = p_{верх} + \rho g h = p_0 + \rho g h$

Подставим числовые значения: $p_2 = 0,15 \text{ МПа} + 0,05 \text{ МПа} = 0,20 \text{ МПа}$

Ответ: давление на дне бака станет равным $p_2 = 0,20 \text{ МПа}$.