Номер 15.5, страница 113 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 15. Уравнение состояния идеального газа. Молекулярная физика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 15.5, страница 113.

Условие.

15.5. В цилиндре под поршнем площадью $S = 100 \text{ см}^2$ и массой $m_1 = 50 \text{ кг}$ находится воздух при температуре $t_1 = 7 \text{ °С}$. Поршень находится на высоте $h_1 = 60 \text{ см}$ от дна цилиндра. Воздух в цилиндре нагревают до $t_2 = 47 \text{ °С}$, а на поршень ставят гирю массой $m_2 = 100 \text{ кг}$. На сколько опустится или поднимется поршень по сравнению со своим начальным положением? Атмосферное давление $p_a = 100 \text{ кПа}$, трением поршня о стенки цилиндра можно пренебречь.

☑ Опустится на 19 см.

Решение. Запишем условия равновесия поршня в начальном и конечном положениях: $m_1 g + p_a S = p_1 S$, $m_1 g + m_2 g + p_a S = p_2 S$. Начальное давление $p_1$ воздуха в цилиндре связано с конечным давлением $p_2$ уравнением Клапейрона $p_1 V_1 / T_1 = p_2 V_2 / T_2$. Здесь $V_1 = S h_1$ и $V_2 = S (h_1 + x)$ — соответственно начальный и конечный объемы воздуха в цилиндре, $\text{x}$ — перемещение поршня ($x > 0$ соответствует поднятию поршня). Отсюда $x = h_1 \left( \frac{T_2}{T_1} \cdot \frac{m_1 g + p_a S}{m_1 g + m_2 g + p_a S} - 1 \right) = 9 \text{ (см)}$. Таким образом, поршень опустится на 19 см.

Решение.

Дано:

$S = 100 \text{ см}^2$

$m_1 = 50 \text{ кг}$

$m_2 = 100 \text{ кг}$

$t_1 = 7^\circ\text{C}$

$t_2 = 47^\circ\text{C}$

$h_1 = 60 \text{ см}$

$p_a = 100 \text{ кПа}$

$S = 100 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.01 \text{ м}^2$
$T_1 = t_1 + 273 = 7 + 273 = 280 \text{ К}$
$T_2 = t_2 + 273 = 47 + 273 = 320 \text{ К}$
$h_1 = 0.6 \text{ м}$
$p_a = 100 \cdot 10^3 \text{ Па} = 10^5 \text{ Па}$
Примем $g = 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

Перемещение поршня, $\Delta h$.

Решение:

Воздух в цилиндре будем считать идеальным газом. Поскольку цилиндр герметично закрыт поршнем, количество воздуха (число молей) постоянно. Процесс перехода газа из начального состояния (1) в конечное (2) описывается объединенным газовым законом (уравнением Клапейрона):

$\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$

где $p$, $V$, $T$ — давление, объем и абсолютная температура газа соответственно.

Найдем давление газа в начальном и конечном состояниях из условия равновесия поршня. Сила давления газа изнутри цилиндра уравновешивает внешние силы: силу тяжести поршня (и гири) и силу атмосферного давления.

В начальном состоянии (1) на поршень действуют сила тяжести поршня $m_1 g$ и сила атмосферного давления $p_a S$. Давление газа внутри $p_1$ создает силу $p_1 S$. Условие равновесия:

$p_1 S = m_1 g + p_a S \implies p_1 = p_a + \frac{m_1 g}{S}$

В конечном состоянии (2) на поршень дополнительно ставится гиря массой $m_2$. Условие равновесия для поршня с гирей:

$p_2 S = (m_1 + m_2)g + p_a S \implies p_2 = p_a + \frac{(m_1 + m_2)g}{S}$

Объемы газа в начальном и конечном состояниях связаны с высотой поршня $h$ и площадью $S$:

$V_1 = S h_1$

$V_2 = S h_2$

где $h_2$ — конечная высота поршня.

Подставим выражения для давлений и объемов в объединенный газовый закон:

$\frac{(p_a + \frac{m_1 g}{S}) S h_1}{T_1} = \frac{(p_a + \frac{(m_1 + m_2)g}{S}) S h_2}{T_2}$

Умножим выражения в скобках на $S$ и сократим $S$, соответствующую площади в формуле объема:

$\frac{(p_a S + m_1 g) h_1}{T_1} = \frac{(p_a S + (m_1 + m_2)g) h_2}{T_2}$

Выразим отсюда конечную высоту $h_2$:

$h_2 = h_1 \frac{T_2}{T_1} \frac{p_a S + m_1 g}{p_a S + (m_1 + m_2)g}$

Подставим числовые значения:

$p_a S = 10^5 \text{ Па} \cdot 0.01 \text{ м}^2 = 1000 \text{ Н}$

$m_1 g = 50 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 500 \text{ Н}$

$(m_1 + m_2)g = (50 + 100) \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 150 \cdot 10 = 1500 \text{ Н}$

Тогда:

$h_2 = 0.6 \text{ м} \cdot \frac{320 \text{ К}}{280 \text{ К}} \cdot \frac{1000 \text{ Н} + 500 \text{ Н}}{1000 \text{ Н} + 1500 \text{ Н}} = 0.6 \cdot \frac{32}{28} \cdot \frac{1500}{2500}$

$h_2 = 0.6 \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{3}{5} = \frac{0.6 \cdot 24}{35} = \frac{14.4}{35} \approx 0.4114 \text{ м}$

Перемещение поршня $\Delta h$ равно разности конечной и начальной высот:

$\Delta h = h_2 - h_1 = 0.4114 \text{ м} - 0.6 \text{ м} \approx -0.1886 \text{ м}$

Переведем в сантиметры: $\Delta h \approx -19 \text{ см}$.

Знак "минус" указывает на то, что высота поршня уменьшилась, то есть поршень опустился.

Ответ: поршень опустится на 19 см.