Номер 64, страница 111 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Молекулярная физика и термодинамика. Молекулярная физика. 14. Молекулярно-кинетическая теория. Олимпиадные задачи - номер 64, страница 111.

Условие.

О-64. Стенки сосуда, в котором находится газ с температурой $\text{T}$, имеют температуру $T_c$. В каком случае давление газа на стенки сосуда больше: когда стенки сосуда холоднее газа ($T_c < T$) или когда теплее ($T_c > T$)?

Решение. Если температура стенок сосуда $T_c$ совпадает с температурой газа $\text{T}$, то молекула, ударяясь о стенку, изменяет проекцию импульса $p_x$ на $-p_x$. Значит, суммарное изменение импульса равно $2p_x$. Когда температура стенок $T_c > T$, газ нагревается. Это означает, что молекулы газа отскакивают от стенки с большей скоростью, чем налетают, а следовательно, и с большим импульсом. В результате изменение импульса будет больше, чем $2p_x$.

Если же $T_c < T$, то газ охлаждается, т. е. молекулы газа отскакивают от стенки с меньшим импульсом, чем налетают на нее. Ясно, что изменение импульса в этом случае будет меньше, чем $2p_x$. Так как в соответствии со вторым законом Ньютона изменение импульса пропорционально средней силе, то давление газа на стенки сосуда больше, когда стенки теплее газа ($T_c > T$).

Решение.

Дано:

Температура газа - $T$

Температура стенок сосуда - $T_c$

Найти:

В каком случае давление газа на стенки сосуда больше: при $T_c < T$ или при $T_c > T$?

Решение:

Давление газа на стенки сосуда создается ударами молекул об эти стенки. Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, средняя сила, с которой газ действует на стенку, пропорциональна суммарному изменению импульса молекул, столкнувшихся со стенкой, за единицу времени. Следовательно, давление $P$ будет тем больше, чем больше среднее изменение импульса, которое передается стенке от одной молекулы при столкновении.

Рассмотрим три возможных случая взаимодействия молекулы со стенкой, проанализировав изменение импульса молекулы.

1. Если температура стенок сосуда совпадает с температурой газа ($T_c = T$), то в среднем происходит упругое столкновение. Молекула, ударяясь о стенку, отскакивает от нее с той же по модулю скоростью. Если проекция импульса молекулы на ось, перпендикулярную стенке, до удара была $p_x$, то после удара она станет $-p_x$. Изменение импульса молекулы составит: $Δp_x = (-p_x) - p_x = -2p_x$. Модуль изменения импульса в этом случае равен $|Δp_x| = 2p_x$.

2. Когда стенки теплее газа ($T_c > T$), газ при контакте со стенками нагревается. Это означает, что молекулы газа, ударяясь о стенку, получают от нее дополнительную кинетическую энергию и отскакивают с большей скоростью, а следовательно, и с большим по модулю импульсом. Пусть модуль импульса до удара был $p_{x1}$, а после удара стал $p_{x2}$, причем $p_{x2} > p_{x1}$. Тогда изменение импульса составит $Δp_x = (-p_{x2}) - p_{x1}$. Модуль изменения импульса: $|Δp_x| = p_{x2} + p_{x1}$. Так как $p_{x2} > p_{x1}$, то очевидно, что $|Δp_x| > 2p_{x1}$. Изменение импульса в этом случае больше, чем при упругом ударе.

3. Если же стенки холоднее газа ($T_c < T$), то газ охлаждается. Молекулы, ударяясь о стенку, передают ей часть своей энергии и отскакивают с меньшей скоростью и меньшим по модулю импульсом. Пусть модуль импульса до удара был $p_{x1}$, а после удара стал $p_{x2}$, причем $p_{x2} < p_{x1}$. Модуль изменения импульса будет равен: $|Δp_x| = p_{x2} + p_{x1}$. Так как $p_{x2} < p_{x1}$, то $|Δp_x| < 2p_{x1}$. Изменение импульса в этом случае меньше, чем при упругом ударе.

Сравнивая три случая, мы видим, что наибольшее изменение импульса молекулы при столкновении со стенкой происходит тогда, когда стенки сосуда теплее газа. Поскольку давление пропорционально силе, а сила, в свою очередь, пропорциональна среднему изменению импульса молекул, то и давление будет наибольшим в этом случае.

Ответ: Давление газа на стенки сосуда больше, когда стенки теплее газа ($T_c > T$).