Номер 15.4, страница 113 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 15. Уравнение состояния идеального газа. Молекулярная физика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 15.4, страница 113.

Условие.

15.4. Во сколько раз изменится подъемная сила воздушного шара, если наполняющий его гелий заменить водородом? Весом оболочки шара можно пренебречь.

☑ Увеличится на 8 %.

Решение. Хотя водород вдвое легче гелия, подъемная сила F увеличится ненамного. Она определяется разностью между архимедовой силой $F_A$, действующей на шар со стороны воздуха, и силой тяжести $mg$ наполняющего шар газа: $F = F_A - mg = (m_B - m)g$. Здесь и далее индекс «в» относится к вытесненному шаром воздуху, 1 и 2 — соответственно к гелию и водороду. Отношение подъемных сил при заполнении шара водородом и гелием $\frac{F_2}{F_1} = \frac{m_B - m_2}{m_B - m_1}$. Уравнение Менделеева–Клапейрона позволяет выразить это отношение через молярные массы газов: $\frac{F_2}{F_1} = \frac{M_B - M_2}{M_B - M_1} = 1,08$ (мы считаем температуру и давление внутри шара такими же, как у окружающего воздуха). Существенного увеличения подъемной силы при замене гелия на водород не происходит потому, что оба газа намного легче воздуха.

Решение.

Дано:

Воздушный шар, изначально наполненный гелием (He), заменяют водородом (H₂).

Весом оболочки шара можно пренебречь.

Молярная масса гелия (газ 1): $M_1 = M_{He} = 4 \times 10^{-3}$ кг/моль.

Молярная масса водорода (газ 2): $M_2 = M_{H_2} = 2 \times 10^{-3}$ кг/моль.

Средняя молярная масса воздуха: $M_в \approx 29 \times 10^{-3}$ кг/моль.

Найти:

Отношение подъемной силы шара с водородом ($F_2$) к подъемной силе шара с гелием ($F_1$), то есть $\frac{F_2}{F_1}$.

Решение:

Подъемная сила $F$, действующая на воздушный шар, равна разности между выталкивающей силой Архимеда $F_A$ и силой тяжести газа $F_g$, наполняющего шар.

$F = F_A - F_g$

Сила Архимеда равна весу вытесненного воздуха:

$F_A = m_в g$

где $m_в$ — масса воздуха в объеме шара $V$, $g$ — ускорение свободного падения.

Сила тяжести газа внутри шара:

$F_g = m_г g$

где $m_г$ — масса газа в объеме шара $V$.

Таким образом, общая формула для подъемной силы:

$F = (m_в - m_г)g$

Запишем выражения для подъемной силы в двух случаях:

1. Шар наполнен гелием (индекс 1):

$F_1 = (m_в - m_1)g$

2. Шар наполнен водородом (индекс 2):

$F_2 = (m_в - m_2)g$

Найдем отношение этих сил:

$\frac{F_2}{F_1} = \frac{(m_в - m_2)g}{(m_в - m_1)g} = \frac{m_в - m_2}{m_в - m_1}$

Массу газа можно выразить через его молярную массу с помощью уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона):

$PV = \frac{m}{M}RT \implies m = \frac{PVM}{RT}$

Будем считать, что давление $P$ и температура $T$ внутри шара такие же, как у окружающего воздуха. Объем шара $V$ также постоянен. Тогда для масс воздуха, гелия и водорода, занимающих один и тот же объем $V$ при одинаковых $P$ и $T$, можно записать:

$m_в = \frac{PVM_в}{RT}$

$m_1 = \frac{PVM_1}{RT}$

$m_2 = \frac{PVM_2}{RT}$

Подставим эти выражения в формулу для отношения сил:

$\frac{F_2}{F_1} = \frac{\frac{PVM_в}{RT} - \frac{PVM_2}{RT}}{\frac{PVM_в}{RT} - \frac{PVM_1}{RT}} = \frac{\frac{PV}{RT}(M_в - M_2)}{\frac{PV}{RT}(M_в - M_1)} = \frac{M_в - M_2}{M_в - M_1}$

Теперь подставим числовые значения молярных масс (можно использовать г/моль, так как это отношение):

$M_в \approx 29$ г/моль

$M_1 = 4$ г/моль

$M_2 = 2$ г/моль

$\frac{F_2}{F_1} = \frac{29 - 2}{29 - 4} = \frac{27}{25} = 1.08$

Это означает, что подъемная сила увеличится в 1.08 раза. Чтобы найти процентное изменение, воспользуемся формулой:

$\text{Изменение} (\%) = (\frac{F_2}{F_1} - 1) \times 100\% = (1.08 - 1) \times 100\% = 0.08 \times 100\% = 8\%$

Ответ: Подъемная сила воздушного шара увеличится в 1.08 раза, то есть на 8%.