Номер 15.6, страница 114 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Молекулярная физика и термодинамика. Молекулярная физика. 15. Уравнение состояния идеального газа. Упражнения - номер 15.6, страница 114.

Условие.

15.6. Какой радиус $\text{r}$ должен иметь наполненный гелием воздушный шар, чтобы он мог подняться в воздух, если масса $1 \text{ м}^2$ оболочки шара $m_0 = 50 \text{ г}$? Температура воздуха $t = 27^\circ\text{C}$, давление $p_a = 100 \text{ кПа}$, разностью давлений внутри шара и снаружи можно пренебречь.

☑ $r \ge 0,15 \text{ м}$.

Указание.

Массу вытесненного шаром воздуха, а также массу гелия внутри шара можно выразить через $\text{r}$, воспользовавшись уравнением Менделеева—Клапейрона; массу $\text{m}$ оболочки — найти из соотношения $m/m_0 = S/S_0$, где $\text{S}$ — площадь поверхности оболочки, а $S_0 = 1 \text{ м}^2$.

Решение.

Дано:
Масса 1 м² оболочки шара $m_0 = 50$ г
Площадь, которой соответствует масса $m_0$: $S_0 = 1$ м²
Температура воздуха $t = 27$ °C
Давление воздуха $p_a = 100$ кПа
Молярная масса гелия $M_{He} \approx 4 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
Средняя молярная масса воздуха $M_{в} \approx 29 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
Универсальная газовая постоянная $R = 8.31$ Дж/(моль·К)

Перевод в систему СИ:
$m_0 = 50 \cdot 10^{-3}$ кг = $0.05$ кг
$T = 27 + 273 = 300$ К
$p_a = 100 \cdot 10^3$ Па = $10^5$ Па

Найти:

Минимальный радиус шара $r$, при котором он сможет подняться.

Решение:

Для того чтобы воздушный шар мог подняться, выталкивающая сила Архимеда $F_A$, действующая на него, должна быть больше или равна сумме сил тяжести, действующих на гелий внутри шара ($P_{He}$) и на его оболочку ($P_{об}$).

Условие подъема шара:$F_A \ge P_{He} + P_{об}$

Сила Архимеда равна весу вытесненного воздуха:$F_A = m_в g = \rho_в V g$, где $\rho_в$ - плотность воздуха, $V$ - объем шара.

Вес гелия: $P_{He} = m_{He} g = \rho_{He} V g$, где $\rho_{He}$ - плотность гелия.

Вес оболочки: $P_{об} = m_{об} g$.

Подставим эти выражения в условие подъема и сократим на $g$:$\rho_в V \ge \rho_{He} V + m_{об}$

Выразим массы и объемы через радиус шара $r$. Шар имеет сферическую форму.Объем шара: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.Площадь поверхности оболочки: $S = 4\pi r^2$.

Массу оболочки найдем из соотношения, указанного в задаче: $m_{об}/m_0 = S/S_0$.Так как $S_0 = 1$ м², то $m_{об} = m_0 S = m_0 \cdot 4\pi r^2$.

Плотности воздуха и гелия найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона $pV = \frac{m}{M}RT$.Плотность газа $\rho = \frac{m}{V} = \frac{pM}{RT}$.По условию, давлением внутри и снаружи можно пренебречь, значит оно равно $p_a$. Температура также одинакова.Плотность воздуха: $\rho_в = \frac{p_a M_в}{RT}$.Плотность гелия: $\rho_{He} = \frac{p_a M_{He}}{RT}$.

Подставим все выражения в неравенство:$\frac{p_a M_в}{RT} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \ge \frac{p_a M_{He}}{RT} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 + m_0 \cdot 4\pi r^2$

Перенесем слагаемое с гелием в левую часть:$(\frac{p_a M_в}{RT} - \frac{p_a M_{He}}{RT}) \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \ge m_0 \cdot 4\pi r^2$

$\frac{p_a (M_в - M_{He})}{RT} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \ge m_0 \cdot 4\pi r^2$

Разделим обе части на $4\pi r^2$ (поскольку $r > 0$):$\frac{p_a (M_в - M_{He})}{RT} \cdot \frac{r}{3} \ge m_0$

Выразим радиус $r$:$r \ge \frac{3 m_0 RT}{p_a (M_в - M_{He})}$

Подставим числовые значения:$r \ge \frac{3 \cdot 0.05 \text{ кг} \cdot 8.31 \text{ Дж/(моль·К)} \cdot 300 \text{ К}}{10^5 \text{ Па} \cdot (29 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль} - 4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль})}$

$r \ge \frac{3 \cdot 0.05 \cdot 8.31 \cdot 300}{10^5 \cdot 25 \cdot 10^{-3}} = \frac{373.95}{2500}$

$r \ge 0.14958$ м

Округляя, получаем $r \ge 0.15$ м.

Ответ: $r \ge 0.15$ м.