Номер 67, страница 116 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 15. Уравнение состояния идеального газа. Молекулярная физика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 67, страница 116.

Условие.

О-67. Изготовлена модель парового реактивного двигателя. Водяной пар нагревается спиртовкой, мощность теплопередачи которой котлу 100 Вт. Пар из котла выходит через отверстие площадью 0,2 мм². Определите силу тяги реактивного двигателя.

☑ $2 \cdot 10^{-2}$ Н.

Решение.

Поскольку изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силы, $F\Delta t = \Delta(mv)$,

$F = \frac{\Delta m}{\Delta t}v$, где $\text{F}$ — реактивная сила, $\frac{\Delta m}{\Delta t}$ — секундный расход пара, $\text{v}$ — скорость истечения пара.

$N\Delta t = \Delta mr$, где $\text{N}$ — мощность теплопередачи, $\text{r}$ — удельная теплота испарения. При этом $v = \frac{\Delta V}{\Delta t \cdot S}$, где $\Delta V$ — объем пара, выходящий за время $\text{t}$, $\text{S}$ — площадь сечения отверстия.

Из уравнения состояния следует, что $p\Delta V = \frac{\Delta m}{M}RT$, то есть $\Delta V = \frac{\Delta m RT}{M p}$, откуда получаем

$F = \frac{N\Delta m RT}{rM\Delta t Sp} = \frac{N^2 RT}{r^2 MSp}$. Вычисления дают $F \approx 2 \cdot 10^{-2}$ Н.

Решение.

Дано:

$N = 100 \text{ Вт}$

$S = 0.2 \text{ мм}^2$

Перевод в систему СИ:

$S = 0.2 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 0.2 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2 = 2 \cdot 10^{-7} \text{ м}^2$

Найти:

$F$

Решение:

Сила тяги реактивного двигателя $F$ определяется вторым законом Ньютона в импульсной форме и равна произведению секундного массового расхода пара $(\frac{\Delta m}{\Delta t})$ на скорость его истечения $v$:

$F = \frac{\Delta m}{\Delta t} v$

Секундный массовый расход пара найдем из мощности теплопередачи $N$. Эта мощность идет на превращение воды в пар, т.е. $N = \frac{Q}{\Delta t}$, где $Q = \Delta m \cdot r$ – количество теплоты, необходимое для испарения массы воды $\Delta m$, а $r$ – удельная теплота парообразования.

Таким образом, $N = \frac{\Delta m \cdot r}{\Delta t}$, откуда массовый расход:

$\frac{\Delta m}{\Delta t} = \frac{N}{r}$

Скорость истечения пара $v$ связана с объемным расходом $\frac{\Delta V}{\Delta t}$ и площадью сечения отверстия $S$:

$v = \frac{\Delta V / \Delta t}{S} = \frac{\Delta V}{S \Delta t}$

Объем пара $\Delta V$, имеющего массу $\Delta m$, можно определить из уравнения состояния идеального газа (уравнения Менделеева-Клапейрона), предполагая, что водяной пар ведет себя как идеальный газ:

$p \Delta V = \frac{\Delta m}{M} RT$

где $p$ – давление пара, $T$ – его абсолютная температура, $M$ – молярная масса воды, а $R$ – универсальная газовая постоянная. Отсюда объем:

$\Delta V = \frac{\Delta m RT}{M p}$

Подставим это выражение в формулу для скорости:

$v = \frac{1}{S \Delta t} \left(\frac{\Delta m RT}{M p}\right) = \frac{\Delta m}{\Delta t} \frac{RT}{M S p}$

Теперь подставим в эту формулу выражение для массового расхода $\frac{\Delta m}{\Delta t} = \frac{N}{r}$:

$v = \frac{N}{r} \frac{RT}{M S p}$

Наконец, подставим найденную скорость в исходную формулу для силы тяги:

$F = \frac{N}{r} v = \frac{N}{r} \left(\frac{N}{r} \frac{RT}{M S p}\right) = \frac{N^2 RT}{r^2 M S p}$

Для расчета будем считать, что пар выходит в атмосферу, поэтому его давление равно нормальному атмосферному давлению $p \approx 10^5 \text{ Па}$, а температура равна температуре кипения воды при этом давлении, $T = 100 ^\circ\text{C} = 373 \text{ К}$. Для получения ответа, указанного в задаче, используем округленные значения физических констант:

• Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$
• Абсолютная температура: $T \approx 400 \text{ К}$ (округленное значение для упрощения расчета)
• Удельная теплота парообразования воды: $r \approx 2 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$
• Молярная масса воды ($H_2O$): $M \approx 0.018 \frac{\text{кг}}{\text{моль}} \approx 0.02 \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$
• Атмосферное давление: $p \approx 10^5 \text{ Па}$

Подставим числовые значения в формулу:

$F \approx \frac{(100 \text{ Вт})^2 \cdot 8 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 400 \text{ К}}{(2 \cdot 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}})^2 \cdot 0.02 \frac{\text{кг}}{\text{моль}} \cdot (2 \cdot 10^{-7} \text{ м}^2) \cdot 10^5 \text{ Па}} = \frac{10^4 \cdot 3200}{4 \cdot 10^{12} \cdot 0.02 \cdot 2 \cdot 10^{-7} \cdot 10^5} = \frac{3.2 \cdot 10^7}{1.6 \cdot 10^9} = 0.02 \text{ Н}$

Ответ: $F = 2 \cdot 10^{-2} \text{ Н}$.