Номер 16.1, страница 118 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Молекулярная физика и термодинамика. Молекулярная физика. 16. Газовые законы. Упражнения - номер 16.1, страница 118.

Условие.

16.1. Под водой на глубине $h = 5,0$ м отломили нижний конец запаянной стеклянной трубки, и в нее вошло $m = 1,95$ г воды. Каким было давление $p_0$ в запаянной трубке? Объем трубки $V = 2,0$ см$^3$, атмосферное давление $p_a = 10^5$ Па.

☑ $p_0 = 3,7$ кПа.

Решение.

Воздух в трубке испытывает изотермическое сжатие от начального объема $\text{V}$ до объема $V - \frac{m}{\rho}$, где $\rho$ — плотность воды. Конечное давление в трубке $p_a + \rho gh$.

Согласно закону Бойля-Мариотта: $p_0V = (p_a + \rho gh) (V - m/\rho)$

Отсюда $p_0 = (p_a + \rho gh) \left(1 - \frac{m}{\rho V}\right) = 3700$ (Па).

Решение.

16.1. Дано:

$h = 5.0 \text{ м}$

$m = 1.95 \text{ г}$

$V = 2.0 \text{ см}^3$

$p_a = 10^5 \text{ Па}$

$\rho \approx 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ (плотность воды)

$g \approx 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ (ускорение свободного падения)

Перевод в систему СИ:

$m = 1.95 \text{ г} = 1.95 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

$V = 2.0 \text{ см}^3 = 2.0 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 2.0 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$

Найти:

$p_0$

Решение:

Когда нижний конец запаянной трубки отламывают под водой, вода входит внутрь и сжимает находящийся там воздух. Будем считать, что температура воздуха в трубке не меняется, так как она находится в контакте с большим объемом воды (процесс изотермический). Следовательно, для воздуха в трубке можно применить закон Бойля-Мариотта:

$p_1 V_1 = p_2 V_2$

где $p_1$ и $V_1$ — начальные давление и объем воздуха, а $p_2$ и $V_2$ — конечные.

Начальное состояние (воздух в запаянной трубке):

Начальное давление: $p_1 = p_0$ (это искомая величина).

Начальный объем: $V_1 = V$.

Конечное состояние (трубка на глубине $h$ с вошедшей в нее водой):

Давление снаружи трубки на глубине $h$ складывается из атмосферного давления $p_a$ и гидростатического давления столба воды $\rho g h$. Когда вода перестает поступать в трубку, давление воздуха внутри становится равным внешнему давлению:

$p_2 = p_a + \rho g h$

В трубку вошла вода массой $m$, которая заняла объем $V_{воды} = m/\rho$. Объем, оставшийся для воздуха, стал равен:

$V_2 = V - V_{воды} = V - m/\rho$

Подставим все выражения в закон Бойля-Мариотта:

$p_0 V = (p_a + \rho g h)(V - m/\rho)$

Выразим отсюда искомое начальное давление $p_0$:

$p_0 = (p_a + \rho g h)\left(\frac{V - m/\rho}{V}\right) = (p_a + \rho g h)\left(1 - \frac{m}{\rho V}\right)$

Теперь подставим числовые значения в системе СИ и произведем вычисления.

Рассчитаем конечное давление $p_2$:

$p_2 = 10^5 \text{ Па} + 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 5.0 \text{ м} = 100000 \text{ Па} + 49000 \text{ Па} = 149000 \text{ Па}$.

Рассчитаем множитель, связанный с изменением объема:

$\left(1 - \frac{m}{\rho V}\right) = \left(1 - \frac{1.95 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 2.0 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3}\right) = \left(1 - \frac{1.95 \cdot 10^{-3}}{2.0 \cdot 10^{-3}}\right) = (1 - 0.975) = 0.025$

Теперь найдем $p_0$:

$p_0 = 149000 \text{ Па} \cdot 0.025 = 3725 \text{ Па}$.

Округляя результат до двух значащих цифр (как в исходных данных), получаем $3700 \text{ Па}$ или $3.7 \text{ кПа}$.

Ответ: $p_0 = 3725 \text{ Па} \approx 3.7 \text{ кПа}$.