Номер 16.3, страница 118 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 16. Газовые законы. Молекулярная физика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 16.3, страница 118.

Условие.

16.3. В шинах автомобиля температура воздуха $t_1 = 14 \ ^\circ C$, а его давление $p_1 = 500 \text{ кПа}$. Во сколько раз уменьшится площадь соприкосновения колес с дорогой, если после поездки температура в шинах повысится до $t_2 = 57 \ ^\circ C$? Атмосферное давление $p_a = 100 \text{ кПа}$. Изменением объема шины можно пренебречь.

☑ В 1,2 раза.

Решение. Обозначим давление в нагретых шинах $p_2$. Согласно закону Шарля $p_2/p_1 = T_2/T_1$. Здесь $T_1$ и $T_2$ — абсолютные температуры, соответствующие $t_1$ и $t_2$. Сила давления шин на дорогу в обоих случаях одна и та же — она равна весу автомобиля. Учитывая, что в формулу для силы давления входит избыточное давление, т. е. разность между давлением в шинах и атмосферным давлением, получаем $(p_1 - p_a)S_1 = (p_2 - p_a)S_2$. Из написанных уравнений следует: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{p_1T_2 - p_aT_2}{T_1(p_1 - p_a)} = 1,2$.

Решение.

Дано:

Начальная температура воздуха в шинах, $t_1 = 14 \text{ °C}$

Начальное давление воздуха в шинах, $p_1 = 500 \text{ кПа}$

Конечная температура воздуха в шинах, $t_2 = 57 \text{ °C}$

Атмосферное давление, $p_a = 100 \text{ кПа}$

Изменение объема шины пренебрежимо мало, $V = \text{const}$

Перевод в СИ:

Абсолютная начальная температура: $T_1 = t_1 + 273 = 14 + 273 = 287 \text{ К}$

Начальное давление: $p_1 = 500 \text{ кПа} = 500 \times 10^3 \text{ Па} = 5 \times 10^5 \text{ Па}$

Абсолютная конечная температура: $T_2 = t_2 + 273 = 57 + 273 = 330 \text{ К}$

Атмосферное давление: $p_a = 100 \text{ кПа} = 100 \times 10^3 \text{ Па} = 1 \times 10^5 \text{ Па}$

Найти:

Отношение начальной площади соприкосновения к конечной, $\frac{S_1}{S_2}$.

Решение:

Поскольку по условию задачи объемом шины можно пренебречь, процесс нагрева воздуха в шинах можно считать изохорным (происходящим при постоянном объеме). Для изохорного процесса справедлив закон Шарля, согласно которому отношение давления газа к его абсолютной температуре постоянно:

$\frac{p}{T} = \text{const}$

Следовательно, для начального и конечного состояний воздуха в шине можно записать равенство:

$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$

где $p_1$ и $T_1$ – начальные давление и абсолютная температура, а $p_2$ и $T_2$ – конечные. Из этого соотношения мы можем выразить конечное давление $p_2$:

$p_2 = p_1 \frac{T_2}{T_1}$

Сила, с которой автомобиль давит на дорогу, равна его весу и остается постоянной. Эта сила уравновешивается силой давления воздуха из шин. Сила давления создается избыточным давлением в шинах (разностью между давлением внутри $p$ и атмосферным давлением снаружи $p_a$), действующим на площадь соприкосновения колес с дорогой $S$.

$F = (p - p_a)S$

Так как вес автомобиля не меняется, сила давления шин на дорогу до поездки ($F_1$) и после ($F_2$) одинакова:

$F_1 = F_2$

$(p_1 - p_a)S_1 = (p_2 - p_a)S_2$

Из этого равенства выразим искомое отношение площадей $\frac{S_1}{S_2}$:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{p_2 - p_a}{p_1 - p_a}$

Теперь подставим в полученную формулу выражение для $p_2$ из закона Шарля:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{p_1 \frac{T_2}{T_1} - p_a}{p_1 - p_a}$

Произведем вычисления, подставив числовые значения. Можно использовать значения давлений в килопаскалях, так как они входят в формулу в виде отношения, и единицы измерения сократятся.

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{500 \cdot \frac{330}{287} - 100}{500 - 100} = \frac{574.913 - 100}{400} = \frac{474.913}{400} \approx 1.187$

Округляя полученный результат до десятых, получаем 1,2.

Ответ: Площадь соприкосновения колес с дорогой уменьшится в 1,2 раза.