Номер 66, страница 116 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 15. Уравнение состояния идеального газа. Молекулярная физика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 66, страница 116.

Условие.

O-66. В сосуде объемом $1\ \text{м}^3$ находится смесь газов — гелия и кислорода. При температуре $t = -2\ ^\circ\text{С}$ и давлении $p = 9 \cdot 10^4\ \text{Па}$ плотность этой смеси $\rho = 0,44\ \text{кг}/\text{м}^3$. Каким станет давление в сосуде, если из него удалить половину молекул кислорода?

☑ $0,79 \cdot 10^5 \text{ Па}$.

Решение. Пусть в сосуде находится $v_1$ молей гелия и $v_2$ молей кислорода. Тогда полное число молей в сосуде равно $v = v_1 + v_2 = \frac{pV}{RT} \approx 40\ \text{(моль)}$. Масса смеси газов $M_1v_1 + M_2v_2 = \rho V = 0,44\ \text{(кг)}$. Решая систему уравнений $v = v_1 + v_2 = 40,\ M_1v_1 + M_2 \cdot v_2 = 0,44$, находим: $v_1 = 30\ \text{моль},\ v_2 = 10\ \text{моль}$. После удаления половины молекул кислорода полное число молей в смеси станет равным $v' = 35\ \text{моль}$. Давление $p'$ в сосуде найдем из соотношения $\frac{p}{p'} = \frac{v}{v'} : p' = p \frac{v'}{v} = 0,9 \cdot 10^5 \frac{35}{40} \approx 0,79 \cdot 10^5\ \text{(Па)}.$

Решение.

Дано:

Смесь газов: гелий (He) и кислород (O₂)
Объем сосуда, $V = 1 \text{ м}^3$
Температура, $t = -2 \text{ °C}$
Начальное давление, $p = 9 \cdot 10^4 \text{ Па}$
Плотность смеси, $\rho = 0,44 \text{ кг/м}^3$
Универсальная газовая постоянная, $R \approx 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$
Молярная масса гелия, $M_{He} = 4 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$
Молярная масса кислорода, $M_{O_2} = 32 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}$

$T = t + 273,15 = -2 + 273,15 = 271,15 \text{ К}$. Для упрощения расчетов, как в примере, примем $T = 271 \text{ К}$.
Все остальные величины даны в системе СИ.

Найти:

Давление в сосуде после удаления половины кислорода, $p'$.

Решение:

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для начального состояния смеси:

$pV = \nu RT$

где $\nu$ - общее количество молей смеси газов. Выразим из этого уравнения общее количество молей:

$\nu = \frac{pV}{RT} = \frac{9 \cdot 10^4 \text{ Па} \cdot 1 \text{ м}^3}{8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 271 \text{ К}} \approx 39,96 \text{ моль}$

Округлим это значение до $\nu = 40 \text{ моль}$.

Общее количество молей смеси равно сумме количеств молей гелия ($\nu_1$) и кислорода ($\nu_2$):

$\nu = \nu_1 + \nu_2 = 40 \text{ моль}$ (1)

Масса смеси газов может быть найдена через плотность и объем:

$m = \rho V = 0,44 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 1 \text{ м}^3 = 0,44 \text{ кг}$

С другой стороны, масса смеси равна сумме масс ее компонентов:

$m = m_1 + m_2 = M_{He} \nu_1 + M_{O_2} \nu_2$

Подставим известные значения молярных масс:

$0,44 = 4 \cdot 10^{-3} \nu_1 + 32 \cdot 10^{-3} \nu_2$

Умножим обе части уравнения на 1000 для удобства:

$440 = 4 \nu_1 + 32 \nu_2$

Разделим обе части на 4:

$110 = \nu_1 + 8 \nu_2$ (2)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений (1) и (2):

$\left\{ \begin{array}{l} \nu_1 + \nu_2 = 40 \\ \nu_1 + 8 \nu_2 = 110 \end{array} \right.$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(\nu_1 + 8 \nu_2) - (\nu_1 + \nu_2) = 110 - 40$

$7 \nu_2 = 70$

$\nu_2 = 10 \text{ моль}$

Подставим значение $\nu_2$ в первое уравнение, чтобы найти $\nu_1$:

$\nu_1 + 10 = 40 \Rightarrow \nu_1 = 30 \text{ моль}$

Итак, в начальный момент в сосуде находилось 30 моль гелия и 10 моль кислорода.

После того как из сосуда удалили половину молекул кислорода, количество молей гелия не изменилось ($\nu'_1 = \nu_1 = 30 \text{ моль}$), а количество молей кислорода стало вдвое меньше:

$\nu'_2 = \frac{\nu_2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ моль}$

Новое общее количество молей смеси в сосуде:

$\nu' = \nu'_1 + \nu'_2 = 30 + 5 = 35 \text{ моль}$

Поскольку объем сосуда $V$ и температура $T$ не изменились, давление газа прямо пропорционально количеству вещества (числу молей). Мы можем составить пропорцию, используя уравнение Менделеева-Клапейрона для начального ($p V = \nu R T$) и конечного ($p' V = \nu' R T$) состояний:

$\frac{p'}{p} = \frac{\nu' R T / V}{\nu R T / V} = \frac{\nu'}{\nu}$

Отсюда найдем новое давление $p'$:

$p' = p \cdot \frac{\nu'}{\nu} = 9 \cdot 10^4 \text{ Па} \cdot \frac{35}{40} = 9 \cdot 10^4 \cdot \frac{7}{8} = 7,875 \cdot 10^4 \text{ Па}$

Выразим ответ в формате, предложенном в задаче, округлив до сотых:

$p' = 7,875 \cdot 10^4 \text{ Па} = 0,7875 \cdot 10^5 \text{ Па} \approx 0,79 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Ответ: Новое давление в сосуде станет $p' \approx 0,79 \cdot 10^5 \text{ Па}$.