Номер 15.2, страница 112 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 15. Уравнение состояния идеального газа. Молекулярная физика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 15.2, страница 112.

Условие.

15.2. Два баллона, имеющие объемы $V_1$ и $V_2$, содержат газы при одинаковой температуре $\text{T}$ и давлениях $p_1$ и $p_2$ соответственно. Баллоны соединены трубкой с краном. Какое давление $\text{p}$ установится в баллонах, если открыть кран? Температура не изменяется, газы в химическую реакцию не вступают.

☑ $p = \frac{p_1V_1 + p_2V_2}{V_1 + V_2}$

Решение. Согласно уравнению Менделеева–Клапейрона $p_1V_1 = v_1RT$, $p_2V_2 = v_2RT$, $p(V_1 + V_2) = vRT$. Здесь $v_1$ и $v_2$ — количество вещества соответственно в первом и втором баллонах, $\text{v}$ — общее количество вещества. Поскольку $v = v_1 + v_2$, получаем $p_1V_1 + p_2V_2 = p(V_1 + V_2)$.

Решение.

Дано:

Объем первого баллона: $V_1$
Давление в первом баллоне: $p_1$
Объем второго баллона: $V_2$
Давление во втором баллоне: $p_2$
Температура в обоих баллонах: $T$
Процесс изотермический: $T = \text{const}$

Найти:

Установившееся давление $p$.

Решение:

Для решения этой задачи применим уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева–Клапейрона), которое связывает давление, объем, температуру и количество вещества газа: $pV = \nu RT$.

Запишем это уравнение для каждого баллона до открытия крана.

Для первого баллона, содержащего $\nu_1$ моль газа: $p_1 V_1 = \nu_1 R T$

Для второго баллона, содержащего $\nu_2$ моль газа: $p_2 V_2 = \nu_2 R T$

Из этих уравнений выразим количество вещества (число молей) газа в каждом баллоне:

$\nu_1 = \frac{p_1 V_1}{R T}$

$\nu_2 = \frac{p_2 V_2}{R T}$

Когда кран открывают, газы смешиваются и занимают общий объем, равный сумме объемов двух баллонов: $V = V_1 + V_2$.

Так как газы не вступают в химическую реакцию, общее количество вещества в системе равно сумме количеств вещества в каждом из баллонов:

$\nu = \nu_1 + \nu_2 = \frac{p_1 V_1}{R T} + \frac{p_2 V_2}{R T} = \frac{p_1 V_1 + p_2 V_2}{R T}$

После установления равновесия в системе будет новое давление $p$. По условию задачи, температура остается неизменной ($T$). Запишем уравнение Менделеева–Клапейрона для конечного состояния системы, используя общий объем $V$ и общее количество вещества $\nu$:

$p V = \nu R T$

Подставим в него выражения для $V$ и $\nu$:

$p (V_1 + V_2) = \left( \frac{p_1 V_1 + p_2 V_2}{R T} \right) R T$

Универсальная газовая постоянная $R$ и температура $T$ сокращаются:

$p (V_1 + V_2) = p_1 V_1 + p_2 V_2$

Наконец, выразим искомое давление $p$:

$p = \frac{p_1 V_1 + p_2 V_2}{V_1 + V_2}$

Это соотношение также известно как закон Дальтона для смеси газов при изотермическом смешивании.

Ответ: $p = \frac{p_1 V_1 + p_2 V_2}{V_1 + V_2}$