Номер 15.3, страница 112 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 15. Уравнение состояния идеального газа. Молекулярная физика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 15.3, страница 112.

Условие.

15.3. Оболочка аэростата, находящегося на Земле, наполнена водородом на $\alpha = 7/8$ своего объема при температуре $t_1 = 17 \text{ °C}$. Аэростат поднялся на высоту, где давление $p_2 = 80 \text{ кПа}$ и температура $t_2 = -3 \text{ °C}$. Какова масса водорода, который в результате расширения вышел через клапан при подъеме? Объем оболочки $V = 800 \text{ м}^3$. На поверхности Земли атмосферное давление $p_1 = 100 \text{ кПа}$.

☑ 1 кг.

Решение. Давление газа в аэростате практически не отличается от наружного давления (тонкая оболочка не может выдержать сколько-нибудь значительного перепада давлений).

При подъеме газ внутри аэростата расширяется, заполняет всю оболочку и только после этого начинает выходить через клапан.

Массы $m_1$ и $m_2$ водорода внутри оболочки в начале и в конце подъема можно найти, воспользовавшись уравнением Менделеева-Клапейрона: $p_1 \alpha V = m_1 R T_1 / M$, $p_2 V = m_2 R T_2 / M$.

Здесь $\text{M}$ — молярная масса водорода.

Масса вышедшего водорода:

$\Delta m = m_1 - m_2 = \frac{MV}{R} \left( \frac{\alpha p_1}{T_1} - \frac{p_2}{T_2} \right) = 1 \text{ (кг)}$

Решение.

Дано:

Доля начального объема, занимаемого водородом: $\alpha = 7/8$

Начальная температура на Земле: $t_1 = 17^\circ\text{C}$

Начальное давление на Земле: $p_1 = 100 \text{ кПа}$

Конечная температура на высоте: $t_2 = -3^\circ\text{C}$

Конечное давление на высоте: $p_2 = 80 \text{ кПа}$

Полный объем оболочки аэростата: $V = 800 \text{ м}^3$

Газ: водород ($H_2$)

Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8.31 \text{ Дж/(моль·К)}$

Молярная масса водорода ($H_2$): $M = 2 \text{ г/моль}$

Перевод в систему СИ:

$T_1 = 17 + 273 = 290 \text{ К}$

$p_1 = 100 \text{ кПа} = 100 \times 10^3 \text{ Па}$

$T_2 = -3 + 273 = 270 \text{ К}$

$p_2 = 80 \text{ кПа} = 80 \times 10^3 \text{ Па}$

$M = 2 \text{ г/моль} = 2 \times 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Найти:

Массу водорода, вышедшего через клапан: $\Delta m$

Решение:

Будем считать, что давление газа внутри аэростата равно внешнему атмосферному давлению, так как тонкая оболочка не может выдерживать значительный перепад давлений.

1. Начальная масса водорода $m_1$ в аэростате на Земле. В начальном состоянии газ занимает объем $V_1 = \alpha V$ при давлении $p_1$ и температуре $T_1$. Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона):

$p_1 V_1 = \frac{m_1}{M} R T_1$

Подставим $V_1 = \alpha V$ и выразим начальную массу $m_1$:

$p_1 \alpha V = \frac{m_1}{M} R T_1 \Rightarrow m_1 = \frac{p_1 \alpha V M}{R T_1}$

2. Конечная масса водорода $m_2$ в аэростате на высоте. Во время подъема газ расширяется, полностью заполняя оболочку объемом $V$. После этого излишек газа выходит через клапан. Следовательно, на конечной высоте водород занимает объем $V$ при давлении $p_2$ и температуре $T_2$. Снова используем уравнение Менделеева-Клапейрона:

$p_2 V = \frac{m_2}{M} R T_2$

Выразим конечную массу $m_2$:

$m_2 = \frac{p_2 V M}{R T_2}$

3. Масса водорода $\Delta m$, вышедшего через клапан, равна разности начальной и конечной масс:

$\Delta m = m_1 - m_2 = \frac{p_1 \alpha V M}{R T_1} - \frac{p_2 V M}{R T_2}$

Вынесем общий множитель $\frac{VM}{R}$ за скобки:

$\Delta m = \frac{V M}{R} \left( \frac{p_1 \alpha}{T_1} - \frac{p_2}{T_2} \right)$

4. Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\Delta m = \frac{800 \cdot 2 \times 10^{-3}}{8.31} \left( \frac{100 \times 10^3 \cdot (7/8)}{290} - \frac{80 \times 10^3}{270} \right)$

$\Delta m = \frac{1.6}{8.31} \left( \frac{87500}{290} - \frac{80000}{270} \right)$

$\Delta m \approx 0.1925 \left( 301.72 - 296.30 \right)$

$\Delta m \approx 0.1925 \cdot 5.42 \approx 1.043 \text{ кг}$

Полученный результат очень близок к 1 кг. Небольшое расхождение может быть связано с округлением исходных данных в условии задачи или физических констант. Таким образом, можно считать, что масса вышедшего водорода составляет 1 кг.

Ответ: $\Delta m \approx 1 \text{ кг}$.