Номер 63, страница 110 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 14. Молекулярно-кинетическая теория. Молекулярная физика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 63, страница 110.

Условие.

O-63. Для улучшения теплоизоляции в колбе термоса между двойными стеклянными стенками газ находится при таком низком давлении, что длина свободного пробега молекул значительно больше расстояния между стенками колбы. Оцените давление газа в колбе термоса, если известно, что 1 кг горячей воды в нем остывает от $100 \ ^{\circ}\text{C}$ до $94 \ ^{\circ}\text{C}$ за 1 час. Между стенками колбы находится гелий.

☑ 2,2 Па.

Решение. Давление газа $\text{p}$ можно определить, зная концентрацию $\text{n}$ и температуру $\text{T}$, по формуле $p = nkT$. Температуру можно принять равной $T = 97 \ ^{\circ}\text{C} = 370 \text{ K}$. Концентрацию молекул можно найти по известной скорости теплопередачи. Выберем ось OX перпендикулярной стенке баллона термоса.

На одну степень свободы молекулы приходится энергия: $\frac{m_0v_x^2}{2} = \frac{1}{2}kT$, $\overline{v_x} = \sqrt{\overline{v_x^2}} = \sqrt{\frac{kT}{m_0}}$.

Так как к одной стенке колбы летит половина молекул, то число $\nu$ ударов молекул о стенку колбы площадью $\text{S}$ в единицу времени равно: $\nu = \frac{1}{2}nS\overline{v_x} = \frac{1}{2}nS\sqrt{\frac{kT}{m_0}}$.

При каждом столкновении со стенкой кинетическая энергия молекулы становится равной среднему значению энергии теплового движения молекул стенки. При перелете от горячей стенки к холодной молекула переносит энергию: $\Delta E = E_1 - E_2 = \frac{3}{2}kT_1 - \frac{3}{2}kT_2 = \frac{3}{2}k(T_1 - T_2) = \frac{3}{2}k\Delta T_1$,

где $\Delta T_1$ — разность температур двух стенок колбы.

За время $\text{t}$ переносится количество теплоты $\text{Q}$: $Q = \Delta E\nu t = \frac{3}{2}k(T_1 - T_2)\frac{1}{2}nSt\sqrt{\frac{kT}{m_0}}$,

где $T \approx \frac{T_1 + T_2}{2}$.

По известным значениям $Q, S, T, m_0$ и $\text{t}$ можно найти концентрацию $\text{n}$: $n = \frac{4Q\sqrt{m_0}}{3\Delta T_1 St\sqrt{k^3 T}}$,

а затем найти давление $\text{p}$: $p = nkT = \frac{4Q\sqrt{m_0}T}{3S\Delta T_1 t\sqrt{k}}$,

где $Q = cm\Delta T_2$ и $\Delta T_2$ — изменение температуры воды в термосе.

$Q = 4,2 \cdot 10^3 \cdot 1,6 = 4,2 \cdot 10^4 \text{ (Дж)}$.

$m_0 = \frac{M}{N_A} = \frac{4 \cdot 10^{-3}}{6 \cdot 10^{23}} \approx 6,66 \cdot 10^{-27} \text{ (кг)}$.

Представим термос объемом 1 л в виде цилиндра радиусом $\text{r}$ и длиной $\text{l}$. $S = 2\pi rl, V = \pi r^2 l = 10^{-3} \text{ (м}^3\text{)}, S = \frac{2V}{r}$,

$S = \frac{2 \cdot 10^{-3}}{0,05} = 4 \cdot 10^{-2} \text{ (м}^2\text{)}$.

Если комнатная температура $22 \ ^{\circ}\text{C}$, то $\Delta T_1 = 75 \text{ K}$.

$p = \frac{4 \cdot 4,2 \cdot 10^4 \sqrt{6,66 \cdot 10^{-27}} \cdot 370}{3 \cdot 4 \cdot 10^{-2} \sqrt{1,38 \cdot 10^{-23}} \cdot 75 \cdot 3600} \approx 2,2 \text{ (Па)}$.

Решение.

Дано:

Масса воды, $m = 1$ кг

Начальная температура воды, $t_{1в} = 100$ °C

Конечная температура воды, $t_{2в} = 94$ °C

Время остывания, $\tau = 1$ час

Газ между стенками - гелий (He)

Удельная теплоемкость воды, $c = 4200$ Дж/(кг·К)

Молярная масса гелия, $M = 4 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Постоянная Авогадро, $N_A = 6.022 \cdot 10^{23}$ моль^-1

Постоянная Больцмана, $k = 1.38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К

Оценочные данные, принимаемые для решения:

Объем термоса, $V \approx 1$ л

Комнатная температура (температура внешней стенки), $t_{комн} \approx 22$ °C

Радиус колбы термоса, $r \approx 5$ см

$m = 1$ кг

$\Delta t_в = 100 - 94 = 6$ °C $= 6$ К

$\tau = 1 \text{ час} = 3600$ с

$V = 1 \text{ л} = 10^{-3}$ м³

$T_{2} = 22 + 273.15 = 295.15$ К (температура холодной стенки)

$r = 5 \text{ см} = 0.05$ м

Найти:

Давление газа, $p$.

Решение:

Давление газа $p$ связано с его концентрацией $n$ и температурой $T$ уравнением состояния идеального газа $p=nkT$. Концентрацию молекул $n$ можно определить из скорости теплопередачи через газ между стенками термоса.

1. Сначала найдем количество теплоты $Q$, которое теряет вода при остывании. Эта теплота полностью передается через разреженный газ от внутренней стенки колбы к внешней.

$Q = c m (t_{1в} - t_{2в}) = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot К} \cdot 1 \text{ кг} \cdot 6 \text{ К} = 25200$ Дж.

2. Механизм теплопередачи в условиях, когда длина свободного пробега молекул значительно больше расстояния между стенками, заключается в переносе энергии отдельными молекулами. Молекула гелия (одноатомный газ) при упругом столкновении с горячей стенкой приобретает в среднем кинетическую энергию $\frac{3}{2}kT_1$, а при столкновении с холодной — $\frac{3}{2}kT_2$. Таким образом, за один перелет от горячей стенки к холодной молекула переносит энергию:

$\Delta E = \frac{3}{2}k(T_1 - T_2)$,

где $T_1$ – температура внутренней (горячей) стенки, а $T_2$ – температура внешней (холодной) стенки. Примем $T_1$ равной средней температуре воды, а $T_2$ – комнатной температуре.

$T_1 = \frac{100 + 94}{2} = 97$ °C = $370.15$ К.

$T_2 = 22$ °C = $295.15$ К.

Тогда разность температур стенок: $\Delta T_{ст} = T_1 - T_2 = 370.15 - 295.15 = 75$ К.

3. Число молекул, ударяющихся о стенку площадью $S$ за единицу времени, можно оценить, рассмотрев движение вдоль оси, перпендикулярной стенкам. Половина молекул движется к стенке, поэтому число ударов в единицу времени $\nu = \frac{1}{2} n S \bar{v}_x$, где $\bar{v}_x$ – средняя скорость молекул вдоль этой оси. По теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы $\frac{1}{2}m_0 \bar{v}_x^2 = \frac{1}{2}kT$, откуда $\bar{v}_x = \sqrt{\frac{kT}{m_0}}$. Здесь $T$ – температура газа, которую оценим как среднюю между температурами стенок, $T = \frac{T_1 + T_2}{2}$, а $m_0$ – масса одной молекулы гелия.

4. Общее количество теплоты $Q$, перенесенное за время $\tau$, равно произведению числа ударов о горячую стенку за это время на среднюю энергию, уносимую каждой молекулой:

$Q = \nu \cdot \tau \cdot \Delta E = \left(\frac{1}{2} n S \bar{v}_x\right) \tau \left(\frac{3}{2}k(T_1 - T_2)\right) = \frac{3}{4} n S \tau k(T_1 - T_2)\sqrt{\frac{kT}{m_0}}$

5. Свяжем концентрацию $n$ с давлением $p$ через $n = p/(kT)$ и подставим в выражение для $Q$:

$Q = \frac{3}{4} \frac{p}{kT} S \tau k(T_1 - T_2)\sqrt{\frac{kT}{m_0}} = \frac{3 p S \tau (T_1 - T_2)}{4T} \sqrt{\frac{kT}{m_0}}$

Выразим давление $p$ из этого уравнения:

$p = \frac{4Q}{3 S \tau (T_1 - T_2)} \sqrt{\frac{m_0 T}{k}}$

6. Подготовим численные значения для расчета:

$Q = 25200$ Дж.

Масса атома гелия: $m_0 = \frac{M}{N_A} = \frac{4 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}}{6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}} \approx 6.64 \cdot 10^{-27}$ кг.

Средняя температура газа: $T = \frac{370.15 + 295.15}{2} = 332.65$ К.

Площадь поверхности $S$ оценим, представив термос в виде цилиндра объемом $V=1$ л и радиусом $r=5$ см. Площадь боковой поверхности, через которую идет основная теплопередача: $S \approx 2\pi r l = 2\pi r \frac{V}{\pi r^2} = \frac{2V}{r}$.

$S = \frac{2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3}{0.05 \text{ м}} = 0.04$ м².

7. Произведем вычисления:

$p = \frac{4 \cdot 25200}{3 \cdot 0.04 \cdot 3600 \cdot 75} \sqrt{\frac{6.64 \cdot 10^{-27} \cdot 332.65}{1.38 \cdot 10^{-23}}} = \frac{100800}{32400} \sqrt{\frac{2.206 \cdot 10^{-24}}{1.38 \cdot 10^{-23}}} = 3.111 \cdot \sqrt{0.16} \approx 3.111 \cdot 0.4 = 1.244$ Па.

Ответ: Давление газа в колбе термоса составляет примерно 1,24 Па.