Номер 14.8, страница 106 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Молекулярная физика и термодинамика. Молекулярная физика. 14. Молекулярно-кинетическая теория. Упражнения - номер 14.8, страница 106.

Условие.

14.8. Кристаллы поваренной соли NaCl имеют кубическую решетку, которая состоит из чередующихся ионов натрия и хлора (см. рисунок). Найдите расстояние $\text{a}$ между центрами ближайших ионов. Плотность соли $\rho = 2200 \text{ кг/м}^3$.

☑ $a = 2,8 \cdot 10^{0} \text{ м}$

Решение. См. задачу 14.7. В случае NaCl на одну кубическую ячейку объемом $a^3$ приходится по «пол-иона» натрия и хлора, т. е. масса, равная полусумме масс ионов Na$^+$ и Cl$^-$.

Решение.

Дано:

Плотность поваренной соли NaCl, $\rho = 2200 \, \text{кг/м}^3$.

Молярная масса натрия, $M_{Na} = 23 \cdot 10^{-3} \, \text{кг/моль}$.

Молярная масса хлора, $M_{Cl} = 35,5 \cdot 10^{-3} \, \text{кг/моль}$.

Постоянная Авогадро, $N_A \approx 6,022 \cdot 10^{23} \, \text{моль}^{-1}$.

Найти:

Расстояние $a$ между центрами ближайших ионов.

Решение:

Кристаллы поваренной соли NaCl имеют кубическую решетку, в узлах которой поочередно располагаются ионы натрия (Na⁺) и хлора (Cl⁻). Расстояние $a$, которое требуется найти, — это расстояние между центрами ближайших разноименных ионов.

Плотность вещества по определению равна отношению массы к объему: $\rho = \frac{m}{V}$. Для нахождения связи между плотностью $\rho$ и расстоянием $a$, рассмотрим объем $V_0$, приходящийся на одну формульную единицу NaCl (одну пару ионов Na⁺ и Cl⁻), и ее массу $m_0$.

В кристаллической решетке типа NaCl объем, приходящийся на одну формульную единицу, равен $V_0 = 2a^3$.

Масса одной формульной единицы NaCl ($m_0$) вычисляется через молярную массу $M_{NaCl}$ и постоянную Авогадро $N_A$:

$m_0 = m_{NaCl} = \frac{M_{NaCl}}{N_A}$

Молярная масса NaCl равна сумме молярных масс натрия и хлора:

$M_{NaCl} = M_{Na} + M_{Cl} = 23 \cdot 10^{-3} \, \text{кг/моль} + 35,5 \cdot 10^{-3} \, \text{кг/моль} = 58,5 \cdot 10^{-3} \, \text{кг/моль}$.

Теперь мы можем записать формулу для плотности:

$\rho = \frac{m_0}{V_0} = \frac{M_{NaCl} / N_A}{2a^3} = \frac{M_{NaCl}}{2 a^3 N_A}$

Выразим из этой формулы искомое расстояние $a$:

$a^3 = \frac{M_{NaCl}}{2 \rho N_A}$

$a = \sqrt[3]{\frac{M_{NaCl}}{2 \rho N_A}}$

Подставим числовые значения в формулу:

$a = \sqrt[3]{\frac{58,5 \cdot 10^{-3} \, \text{кг/моль}}{2 \cdot 2200 \, \text{кг/м}^3 \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \, \text{моль}^{-1}}} \approx \sqrt[3]{\frac{58,5 \cdot 10^{-3}}{2,64968 \cdot 10^{27}}} \, \text{м}$

$a \approx \sqrt[3]{22,078 \cdot 10^{-30}} \, \text{м} \approx 2,805 \cdot 10^{-10} \, \text{м}$.

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем:

$a \approx 2,8 \cdot 10^{-10} \, \text{м}$.

Ответ: $a = 2,8 \cdot 10^{-10} \, \text{м}$.