Номер 14.11, страница 107 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Молекулярная физика и термодинамика. Молекулярная физика. 14. Молекулярно-кинетическая теория. Упражнения - номер 14.11, страница 107.

Условие.

14.11. Оцените суммарную кинетическую энергию поступательного движения молекул, находящихся в воздухе классной комнаты. Увеличится ли эта энергия при включении отопления?

☑ $3 \cdot 10^7$ Дж. Не увеличится.

Решение. Суммарная кинетическая энергия поступательного движения молекул $E_к = N\overline{E}$, где $\text{N}$ — количество молекул в комнате, $\overline{E}$ средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул. Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории, записанного в виде $p = \frac{2}{3}n\overline{E}$, следует, что $\overline{E} = \frac{3p}{2n} = \frac{3pV}{2N}$. Отсюда $E_к = N\overline{E} = \frac{3}{2}pV$.

Атмосферное давление $\text{p}$ равно примерно $10^5$ Па, объем классной комнаты $\text{V}$ примем для оценки равным $200$ м$^3$. Подставляя эти числовые данные в формулу для $E_к$, получим $E_к = 3 \cdot 10^7$ (Дж).

При включении отопления объем $\text{V}$ воздуха в комнате остается неизменным, а давление $\text{p}$ остается равным давлению на улице. Следовательно, остается неизменным и произведение $pV$. Но тогда согласно формуле $E_к = \frac{3}{2}pV$ остается неизменным и суммарная энергия всех молекул, находящихся в воздухе классной комнаты!

Решение.

Оценка суммарной кинетической энергии поступательного движения молекул

Дано:

Атмосферное давление $p \approx 10^5 \text{ Па}$

Объем классной комнаты $V \approx 200 \text{ м}^3$

Найти:

Суммарную кинетическую энергию поступательного движения молекул $E_k$.

Решение:

Суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа $E_k$ связана с его макроскопическими параметрами — давлением $p$ и объемом $V$. Эта связь выводится из основного уравнения молекулярно-кинетической теории:

$p = \frac{2}{3} n \overline{E_{k0}}$

Здесь $n$ — концентрация молекул (число молекул в единице объема, $n = N/V$), а $\overline{E_{k0}}$ — средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы.

Подставив выражение для концентрации в формулу, получим:

$p = \frac{2}{3} \frac{N}{V} \overline{E_{k0}}$

Преобразуем это уравнение, умножив обе части на $V$:

$pV = \frac{2}{3} N \overline{E_{k0}}$

Суммарная кинетическая энергия всех $N$ молекул в комнате $E_k$ равна произведению числа молекул на среднюю энергию одной молекулы: $E_k = N \overline{E_{k0}}$.

Таким образом, мы можем заменить произведение $N \overline{E_{k0}}$ в предыдущем уравнении на $E_k$:

$pV = \frac{2}{3} E_k$

Отсюда выразим суммарную кинетическую энергию:

$E_k = \frac{3}{2} pV$

Теперь подставим заданные для оценки числовые значения:

$E_k = \frac{3}{2} \cdot 10^5 \text{ Па} \cdot 200 \text{ м}^3 = 3 \cdot 10^5 \cdot 100 \text{ Дж} = 3 \cdot 10^7 \text{ Дж}$

Ответ: Суммарная кинетическая энергия поступательного движения молекул в воздухе классной комнаты составляет примерно $3 \cdot 10^7$ Дж.

Изменение энергии при включении отопления

Решение:

При включении отопления температура воздуха в комнате повышается. Согласно молекулярно-кинетической теории, средняя кинетическая энергия молекул газа пропорциональна абсолютной температуре ($\overline{E_{k0}} = \frac{3}{2}kT$), поэтому средняя энергия каждой молекулы в комнате действительно увеличится.

Однако комната не является герметично закрытым сосудом и сообщается с атмосферой. Это означает, что давление воздуха внутри комнаты будет оставаться равным внешнему атмосферному давлению, то есть $p = \text{const}$. Объем комнаты $V$ также является постоянной величиной.

Как мы установили ранее, суммарная кинетическая энергия всех молекул в данном объеме выражается формулой $E_k = \frac{3}{2} pV$. Поскольку и давление $p$, и объем $V$ не изменяются, их произведение $pV$ также остается постоянным. Следовательно, суммарная кинетическая энергия $E_k$ всех молекул, находящихся в комнате, не изменится.

Это объясняется тем, что при нагревании воздух расширяется, и его плотность уменьшается. Так как объем комнаты фиксирован, часть воздуха выйдет наружу через щели. В результате общее число молекул $N$ в комнате уменьшится. Таким образом, увеличение средней кинетической энергии каждой отдельной молекулы будет скомпенсировано уменьшением их общего числа, и суммарная энергия $E_k = N \overline{E_{k0}}$ останется неизменной.

Ответ: Суммарная кинетическая энергия поступательного движения молекул в воздухе комнаты при включении отопления не увеличится.