Номер 14.7, страница 106 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Молекулярная физика и термодинамика. Молекулярная физика. 14. Молекулярно-кинетическая теория. Упражнения - номер 14.7, страница 106.

Условие.

14.7. Какова плотность $\rho$ кристалла с так называемой простой кубической решеткой (см. рисунок), если масса каждого атома $m_0$, а длина ребра кубической ячейки $\text{a}$?

☑ $\rho = m_0/a^3$.

Решение. Плотность кристалла $\rho = m_1/a^3$, где $m_1$ — масса, приходящаяся на одну кубическую ячейку. Каждый из восьми «сходящихся» в центре атома кубических ячеек принадлежит 1/8 этого атома массой $m_0/8$. У кубической ячейки восемь вершин, поэтому $m_1 = 8 \cdot m_0/8 = m_0$. Итак, $\rho = m_0/a^3$. Интересно, что такая простая кристаллическая решетка в природе не встречается.

Решение.

Дано:

Масса каждого атома = $m_0$

Длина ребра кубической ячейки = $a$

Тип решетки = простая кубическая

Найти:

$\rho$ - ?

Решение:

Плотность кристалла $\rho$ определяется как отношение массы вещества к его объему. Для вычисления плотности кристаллического вещества удобно рассмотреть его элементарную ячейку, так как кристалл состоит из множества таких повторяющихся ячеек.

$\rho = \frac{m_{ячейки}}{V_{ячейки}}$

где $m_{ячейки}$ — масса вещества, приходящаяся на одну элементарную ячейку, а $V_{ячейки}$ — объем этой ячейки.

Элементарная ячейка представляет собой куб с длиной ребра $a$. Объем такой ячейки равен:

$V_{ячейки} = a^3$

В простой кубической решетке, как показано на рисунке, атомы находятся в вершинах куба. У куба 8 вершин. Каждый атом, расположенный в вершине, является общим для восьми смежных элементарных ячеек, которые сходятся в этой вершине. Следовательно, внутрь рассматриваемой ячейки попадает только $\frac{1}{8}$ часть от каждого атома в вершине.

Суммарное число атомов ($N$), приходящееся на одну элементарную ячейку, равно:

$N = 8 \text{ вершин} \times \frac{1}{8} \text{ атома на вершину} = 1 \text{ атом}$

Таким образом, масса вещества, содержащаяся в одной элементарной ячейке ($m_{ячейки}$), равна массе одного атома, так как на всю ячейку приходится ровно один атом:

$m_{ячейки} = N \cdot m_0 = 1 \cdot m_0 = m_0$

Теперь можно вычислить плотность, подставив найденные выражения для массы и объема ячейки в исходную формулу:

$\rho = \frac{m_0}{a^3}$

Ответ: Плотность кристалла с простой кубической решеткой равна $\rho = \frac{m_0}{a^3}$.