Номер 14.3, страница 105 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Молекулярная физика и термодинамика. Молекулярная физика. 14. Молекулярно-кинетическая теория. Упражнения - номер 14.3, страница 105.

Условие.

14.3. Каковы средние кинетические энергии $\overline{E}$ поступательно-го движения и средние квадратичные скорости молекул кислорода и водорода при температуре $t = 27^\circ \text{ C}$?

☑ $ \overline{E} = 6,2 \cdot 10^{-21}$ Дж; средняя квадратич-ная скорость молекул кислорода 490 м/с, водорода 1900 м/с.

Решение. Из соотношений $\overline{E} = \frac{3}{2}kT = \frac{m_0\overline{v^2}}{2}$ и $m_0 = \frac{M}{N_A}$ следует, что средняя кинетическая энергия поступатель-ного движения молекул не зависит от массы молекул, а зависит только от температуры. Средняя же квадратичная скорость при одной и той же температуре больше у более легких молекул.

Решение.

Дано:

Температура: $t = 27°$ C

Газы: кислород ($O_2$) и водород ($H_2$)

Постоянная Больцмана: $k \approx 1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К

Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8,31$ Дж/(моль·К)

Молярная масса кислорода: $M_{O_2} = 32 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Молярная масса водорода: $M_{H_2} = 2,0 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Перевод в СИ:

Абсолютная температура: $T = 27 + 273 = 300$ К

Найти:

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул $\bar{E}$

Средняя квадратичная скорость молекул кислорода $\sqrt{\overline{v^2}_{O_2}}$

Средняя квадратичная скорость молекул водорода $\sqrt{\overline{v^2}_{H_2}}$

Решение:

Средняя кинетическая энергия поступательного движения

Согласно молекулярно-кинетической теории, средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа не зависит от их массы, а определяется только абсолютной температурой. Она вычисляется по формуле:

$\bar{E} = \frac{3}{2}kT$

Поскольку температура для обоих газов одинакова, средние кинетические энергии их молекул также будут равны. Подставим числовые значения:

$\bar{E} = \frac{3}{2} \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \frac{\text{Дж}}{\text{К}} \cdot 300 \text{ К} = 6,21 \cdot 10^{-21} \text{ Дж}$

Округляя до двух значащих цифр (согласно данным задачи), получаем:

$\bar{E} \approx 6,2 \cdot 10^{-21}$ Дж

Ответ: Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул кислорода и водорода при данной температуре составляет $6,2 \cdot 10^{-21}$ Дж.

Средние квадратичные скорости молекул

Средняя квадратичная скорость молекул зависит от температуры и от массы молекул (или молярной массы газа $M$). Она может быть найдена по формуле:

$v_{кв} = \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$

Так как массы молекул кислорода и водорода различны, их средние квадратичные скорости при одной и той же температуре также будут различны.

Для кислорода ($O_2$):

$v_{кв, O_2} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{ К}}{32 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}}} = \sqrt{\frac{7479}{0,032}} \approx \sqrt{233719} \approx 483,5 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $480$ м/с.

Для водорода ($H_2$):

$v_{кв, H_2} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{ К}}{2,0 \cdot 10^{-3} \frac{\text{кг}}{\text{моль}}}} = \sqrt{\frac{7479}{0,002}} = \sqrt{3739500} \approx 1934 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $1900$ м/с.

Таким образом, более легкие молекулы водорода движутся значительно быстрее, чем более тяжелые молекулы кислорода.

Ответ: Средняя квадратичная скорость молекул кислорода составляет примерно 480 м/с, а молекул водорода – 1900 м/с.