Номер 58, страница 101 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 13. Механические волны. Звук. Механические колебания и волны. Механика - номер 58, страница 101.

Условие.

O-58. Два одинаковых динамика А и В подключены к выходу одного генератора электрических колебаний частотой $v = 680$ Гц. Расстояние между динамиками 25 м. Амплитуда звуковых колебаний в точке С, находящейся посередине отрезка АВ (см. схематический рисунок), максимальна и равна а. Какова амплитуда звуковых колебаний в точках D и E, если $CD = 6,25$ см, $CE = 12,5$ см? Каким будет ответ, если изменить полярность подключения одного из динамиков?

☑ $a_D = \frac{a}{\sqrt{2}}, \ a_E = 0$; после изменения полярности $a_D = \frac{a}{\sqrt{2}}$, $a_E = a$.

Решение. Из условия следует, что оба динамика излучают когерентные звуковые волны с длиной волны, равной $\lambda = v/v = 0,5$ м (здесь $\text{v}$ — скорость звука в воздухе). В точке С, равноудаленной от источников, обе звуковые волны усиливают друг друга, значит, мембраны динамиков колеблются в одной фазе.

Можно считать, что в точку С и в близкие к ней точки D, E обе волны приходят с одинаковой амплитудой $a/2$. Разность хода волн в точке D составляет $\Delta_D = AD - BD = 2CD = \lambda/4$; в точке E разность хода волн $\Delta_E = AE - BE = 2CE = \lambda/2$. Значит, в точку D волны приходят с разностью фаз $\pi/2$, а в точку E — с разностью фаз $\pi$, т. е. в противофазе. По этому в точке E амплитуда колебаний равна нулю; в точке D складываются два колебания одинаковой частоты с амплитудами $a/2$ и сдвигом фаз $\pi/2$. Следовательно,

$x_D = \frac{a}{2} \cos \omega t + \frac{a}{2} \cos \left( \omega t + \frac{\pi}{2} \right) = $

$= \frac{a}{2} (\cos \omega t - \sin \omega t) = \frac{a}{\sqrt{2}} \cos \left( \omega t + \frac{\pi}{4} \right).$

Итак, амплитуда колебаний в точке D равна $a/\sqrt{2}$. Если изменить полярность подключения одного из динамиков, мембраны будут колебаться в противофазе. Теперь обе волны «гасят» друг друга в точке С, зато усиливают в точке Е — амплитуда колебаний в этой точке станет равной $\text{a}$. В точке D изменение фазы одной из волн на противоположную не влияет на амплитуду результирующего колебания — эта амплитуда по-прежнему равна $a/\sqrt{2}$.

Решение.

Дано:

Частота генератора $ν = 680$ Гц

Расстояние между динамиками $L = 25$ м

Амплитуда в точке C (середина отрезка AB) $a_C = a$

Расстояние $CD = 6,25$ см = $0,0625$ м

Расстояние $CE = 12,5$ см = $0,125$ м

Скорость звука в воздухе (стандартное значение) $v \approx 340$ м/с

Найти:

1. Амплитуды звуковых колебаний в точках D ($a_D$) и E ($a_E$) при исходном подключении.

2. Амплитуды звуковых колебаний в точках D ($a'_D$) и E ($a'_E$) после изменения полярности одного из динамиков.

Решение:

Сначала определим длину звуковой волны, излучаемой динамиками. Длина волны $λ$ связана со скоростью звука $v$ и частотой $ν$ соотношением:

$λ = \frac{v}{ν} = \frac{340 \text{ м/с}}{680 \text{ Гц}} = 0,5$ м

По условию, в точке C, находящейся на равном расстоянии от динамиков A и B, амплитуда колебаний максимальна и равна $a$. Это означает, что в эту точку волны от обоих источников приходят в одинаковой фазе и усиливают друг друга (конструктивная интерференция). Так как расстояния AC и BC равны, разность хода волн в точке C равна нулю. Следовательно, сами динамики колеблются в одной фазе (синфазно).

Если результирующая амплитуда в точке C равна $a$, а она является суммой амплитуд от каждого динамика ($a_0$), то $a = a_0 + a_0 = 2a_0$. Отсюда амплитуда волны от одного динамика $a_0 = a/2$.

Результирующая амплитуда колебаний в любой точке определяется по формуле сложения двух колебаний одинаковой частоты и амплитуды $a_0$ со сдвигом фаз $Δφ$:

$A_{рез} = |2a_0 \cos(\frac{Δφ}{2})| = |a \cos(\frac{Δφ}{2})|$

Сдвиг фаз $Δφ$ зависит от разности хода волн $Δr$: $Δφ = \frac{2π}{λ}Δr$.

Точка C — середина отрезка AB, значит, $AC = BC = L/2 = 25/2 = 12,5$ м.

1. Амплитуда колебаний в точках D и E при исходном (синфазном) подключении.

Для точки D:

Найдем расстояния от динамиков A и B до точки D:

$r_{AD} = AC - CD = 12,5 - 0,0625 = 12,4375$ м

$r_{BD} = BC + CD = 12,5 + 0,0625 = 12,5625$ м

Разность хода волн в точке D:

$Δr_D = r_{BD} - r_{AD} = 12,5625 - 12,4375 = 0,125$ м

Сравним разность хода с длиной волны: $Δr_D = 0,125$ м, а $λ = 0,5$ м. Видно, что $Δr_D = \frac{λ}{4}$.

Сдвиг фаз в точке D:

$Δφ_D = \frac{2π}{λ}Δr_D = \frac{2π}{λ} \cdot \frac{λ}{4} = \frac{π}{2}$

Амплитуда колебаний в точке D:

$a_D = |a \cos(\frac{Δφ_D}{2})| = |a \cos(\frac{π/2}{2})| = |a \cos(\frac{π}{4})| = a \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Для точки E:

Найдем расстояния от динамиков A и B до точки E:

$r_{AE} = AC - CE = 12,5 - 0,125 = 12,375$ м

$r_{BE} = BC + CE = 12,5 + 0,125 = 12,625$ м

Разность хода волн в точке E:

$Δr_E = r_{BE} - r_{AE} = 12,625 - 12,375 = 0,25$ м

Сравним разность хода с длиной волны: $Δr_E = 0,25$ м, а $λ = 0,5$ м. Видно, что $Δr_E = \frac{λ}{2}$.

Сдвиг фаз в точке E:

$Δφ_E = \frac{2π}{λ}Δr_E = \frac{2π}{λ} \cdot \frac{λ}{2} = π$

Амплитуда колебаний в точке E:

$a_E = |a \cos(\frac{Δφ_E}{2})| = |a \cos(\frac{π}{2})| = a \cdot 0 = 0$

Ответ: При исходном подключении амплитуда в точке D равна $a_D = a/\sqrt{2}$, а в точке E равна $a_E = 0$.

2. Амплитуда колебаний после изменения полярности одного из динамиков.

Изменение полярности одного из динамиков означает, что теперь они колеблются в противофазе. Это вносит дополнительный начальный сдвиг фаз, равный $π$.

Новый сдвиг фаз в любой точке будет $Δφ' = Δφ + π$.

Для точки D:

Новый сдвиг фаз:

$Δφ'_D = Δφ_D + π = \frac{π}{2} + π = \frac{3π}{2}$

Новая амплитуда колебаний в точке D:

$a'_D = |a \cos(\frac{Δφ'_D}{2})| = |a \cos(\frac{3π/2}{2})| = |a \cos(\frac{3π}{4})| = |a \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})| = a \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Амплитуда в точке D не изменилась.

Для точки E:

Новый сдвиг фаз:

$Δφ'_E = Δφ_E + π = π + π = 2π$

Новая амплитуда колебаний в точке E:

$a'_E = |a \cos(\frac{Δφ'_E}{2})| = |a \cos(\frac{2π}{2})| = |a \cos(π)| = |a \cdot (-1)| = a$

В точке Е теперь наблюдается максимум (конструктивная интерференция).

Ответ: После изменения полярности амплитуда в точке D останется прежней, $a'_D = a/\sqrt{2}$, а в точке E станет максимальной, $a'_E = a$.