Номер 13.4, страница 97 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Механические колебания и волны. 13. Механические волны. Звук. Упражнения - номер 13.4, страница 97.

Условие.

13.4. Найдите собственные частоты колебаний воздушного столба в закрытой с обоих концов трубе длиной $l=3,4$ м.

☑ $v_k = k \cdot 50$ Гц, где $k = 1, 2, 3, \ldots$

Решение. Собственные колебания воздушного столба представляют собой стоячие волны, причем у закрытых концов трубы находятся узлы стоячей волны. Поскольку расстояние между ближайшими узлами равно $\lambda/2$, на длине трубы должно укладываться целое число полуволн: $l = k(\lambda_k/2)$, где $k = 1, 2, 3, \ldots$. Отсюда $\lambda_k = 2l/k$, и собственные частоты $v_k = v/\lambda_k = kv/(2l)$, где $\text{v}$ — скорость звука в воздухе. Подставляя числовые данные, получаем $v_k = k \cdot 50$ Гц.

Решение.

Дано:

Длина трубы: $l = 3,4$ м.

Скорость звука в воздухе: $v = 340$ м/с (стандартное значение при нормальных условиях).

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Собственные частоты колебаний воздушного столба $\nu_k$.

Решение:

Собственные колебания воздушного столба в трубе представляют собой стоячие звуковые волны. Для трубы, которая закрыта с обоих концов, частицы воздуха у торцов не могут смещаться. Это означает, что на концах трубы должны находиться узлы стоячей волны (точки с нулевой амплитудой смещения).

Расстояние между двумя последовательными узлами стоячей волны равно половине длины волны, то есть $\lambda/2$. Так как узлы должны быть на обоих концах трубы, на всей ее длине $l$ должно укладываться целое число таких полуволн.

Это условие можно записать в виде формулы:

$l = k \cdot \frac{\lambda_k}{2}$, где $k = 1, 2, 3, \ldots$ - целое число, соответствующее номеру гармоники (моды колебаний).

Из этого соотношения выразим возможные длины волн $\lambda_k$, которые могут резонировать в трубе:

$\lambda_k = \frac{2l}{k}$

Собственные частоты колебаний $\nu_k$ связаны со скоростью распространения волны $v$ (в данном случае — скоростью звука в воздухе) и длиной волны $\lambda_k$ следующим соотношением:

$\nu_k = \frac{v}{\lambda_k}$

Теперь подставим выражение для длины волны $\lambda_k$ в формулу для частоты, чтобы получить общую формулу для собственных частот трубы, закрытой с обоих концов:

$\nu_k = \frac{v}{\frac{2l}{k}} = k \cdot \frac{v}{2l}$

Подставим в эту формулу числовые значения из условия задачи:

$\nu_k = k \cdot \frac{340 \text{ м/с}}{2 \cdot 3,4 \text{ м}} = k \cdot \frac{340}{6,8} \text{ Гц} = k \cdot 50 \text{ Гц}$

Таким образом, спектр собственных частот состоит из основной частоты (при $k=1$) $\nu_1 = 50$ Гц и ее гармоник (обертонов): $\nu_2 = 100$ Гц, $\nu_3 = 150$ Гц и так далее.

Ответ: $\nu_k = k \cdot 50 \text{ Гц}$, где $k = 1, 2, 3, \ldots$