Номер 52, страница 94 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Механические колебания и волны. 12. Механические колебания. Олимпиадные задачи - номер 52, страница 94.

Условие.

O-52. На рисунке показано положение равновесия колебательной системы — математического маятника с пружинной связью. Найдите период $\text{T}$ малых колебаний системы. Каким станет период $T''$, если пружину заменить тонкой полоской резины той же длины и жесткости?

☑ $T = 2\pi \sqrt{\frac{ml}{kl+mg}}$; $T' = \pi \left(\sqrt{\frac{ml}{kl+mg}} + \sqrt{\frac{l}{g}}\right)$.

Решение. Для определения периода колебаний можно воспользоваться формулой полной механической энергии $\text{E}$ системы. Пусть отклонение системы от положения равновесия описывается величиной $\text{x}$ (она не обязательно должна быть декартовой координатой: это может быть, например, угол отклонения маятника), а выражение для $\text{E}$ имеет вид $E = Ax^2 + B(x')^2$. Здесь $A, B$ — некоторые положительные константы; $x' = dx/dt$ — скорость изменения величины $\text{x}$. В отсутствие трения полная механическая энергия системы остается неизменной, т. е. $E' = 0$.

Отсюда получаем $Ax + Bx'' = 0$, или $x'' = -\frac{A}{B}x$, что совпадает с уравнением гармонических колебаний $a_x = -\omega_0^2 x$. Следовательно, система совершает гармонические колебания с циклической частотой $\omega_0 = \sqrt{A/B}$. В рассматриваемой системе при малом отклонении $\text{x}$ от равновесия пружина приобретает потенциальную энергию $kx^2/2$, а груз — потенциальную энергию $mgh$, где $h = l - \sqrt{l^2 - x^2} \approx \frac{x^2}{2l}$ (см. рисунок, а также математическое приложение). Для полной механической энергии $\text{W}$ получаем выражение описанного выше типа, где $A = \frac{1}{2}\left(k + \frac{mg}{l}\right)$, $B = \frac{m}{2}$. Следовательно, система будет совершать гармонические колебания с периодом $T = 2\pi \sqrt{\frac{B}{A}} = 2\pi \sqrt{\frac{ml}{kl+mg}}$. Полоска резины, в отличие от пружины, при смещении груза влево от положения равновесия свободно провиснет и не будет действовать на груз (если вес резины пренебрежимо мал). Поэтому период $T'$ колебаний такой системы складывается из половины периода $\text{T}$ и половины периода колебаний обычного математического маятника:

$T' = \pi \left(\sqrt{\frac{ml}{kl+mg}} + \sqrt{\frac{l}{g}}\right)$.

Решение.

Дано:

Масса груза: $m$

Длина подвеса: $l$

Жесткость пружины/резины: $k$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

$T$ - период малых колебаний системы с пружиной.

$T'$ - период малых колебаний системы с резиной.

Решение:

Найдите период T малых колебаний системы.

Для нахождения периода малых колебаний воспользуемся законом сохранения энергии. Полная механическая энергия системы $E$ состоит из кинетической энергии груза $K$ и потенциальной энергии $U$. Потенциальная энергия, в свою очередь, складывается из потенциальной энергии пружины $U_s$ и потенциальной энергии груза в поле тяжести $U_g$ (отсчитываемой от положения равновесия).

$E = K + U_s + U_g$

Рассмотрим малое горизонтальное отклонение $x$ от положения равновесия. При этом груз поднимется на высоту $h$. Для малых углов отклонения $\theta$ справедливы приближения:

$x \approx l \cdot \sin\theta \approx l \cdot \theta$

$h = l(1 - \cos\theta) \approx l(1 - (1 - \frac{\theta^2}{2})) = \frac{l\theta^2}{2}$

Выразим высоту подъема $h$ через горизонтальное смещение $x$:

$h \approx \frac{l(x/l)^2}{2} = \frac{x^2}{2l}$

Запишем выражения для составляющих полной энергии:

Кинетическая энергия: $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(\dot{x})^2$.

Потенциальная энергия пружины: $U_s = \frac{kx^2}{2}$.

Гравитационная потенциальная энергия: $U_g = mgh \approx mg\frac{x^2}{2l}$.

Полная механическая энергия системы:

$E = K + U = \frac{1}{2}m(\dot{x})^2 + \frac{kx^2}{2} + \frac{mgx^2}{2l} = \frac{1}{2}m(\dot{x})^2 + \frac{1}{2}\left(k + \frac{mg}{l}\right)x^2$

Так как система консервативна, ее полная энергия сохраняется, следовательно, производная энергии по времени равна нулю: $\frac{dE}{dt} = 0$.

$\frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2}m(\dot{x})^2 + \frac{1}{2}\left(k + \frac{mg}{l}\right)x^2 \right) = m\dot{x}\ddot{x} + \left(k + \frac{mg}{l}\right)x\dot{x} = 0$

$\dot{x} \left( m\ddot{x} + \left(k + \frac{mg}{l}\right)x \right) = 0$

Это равенство должно выполняться в любой момент времени. Поскольку скорость $\dot{x}$ не всегда равна нулю, то выражение в скобках должно быть равно нулю. Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

$m\ddot{x} + \left(k + \frac{mg}{l}\right)x = 0$

Это уравнение вида $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$, где $\omega$ - циклическая частота колебаний.

$\omega^2 = \frac{k + mg/l}{m} = \frac{kl + mg}{ml}$

Следовательно, циклическая частота: $\omega = \sqrt{\frac{kl + mg}{ml}}$.

Период колебаний $T$ связан с циклической частотой соотношением $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

$T = 2\pi\sqrt{\frac{ml}{kl + mg}}$

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{ml}{kl + mg}}$

Каким станет период T’, если пружину заменить тонкой полоской резины той же длины и жесткости?

Ключевое отличие резинки от пружины заключается в том, что резинка создает упругую силу только при растяжении и не работает на сжатие. Колебания по-прежнему происходят вокруг положения равновесия $x=0$. Полный цикл колебания можно разбить на два полупериода.

1. Движение вправо ($x>0$): Резинка растягивается и ведет себя как пружина. В этом случае на груз действуют и возвращающая сила упругости резинки, и возвращающая составляющая силы тяжести. Движение на этом участке полностью идентично движению маятника с пружиной. Следовательно, время движения от $x=0$ до максимального отклонения вправо и обратно к $x=0$ составляет половину периода $T$, найденного ранее.

$t_1 = \frac{T}{2} = \pi\sqrt{\frac{ml}{kl + mg}}$

2. Движение влево ($x<0$): Резинка не растянута (сжата) и провисает, не оказывая никакого действия на груз. В этом случае система ведет себя как обычный математический маятник, на который действует только возвращающая составляющая силы тяжести. Период колебаний математического маятника известен и равен:

$T_p = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Время движения от $x=0$ до максимального отклонения влево и обратно к $x=0$ составляет половину периода математического маятника.

$t_2 = \frac{T_p}{2} = \pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Полный период $T'$ колебаний системы с резинкой равен сумме времен этих двух полуколебаний:

$T' = t_1 + t_2 = \pi\sqrt{\frac{ml}{kl + mg}} + \pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Ответ: $T' = \pi\left(\sqrt{\frac{ml}{kl + mg}} + \sqrt{\frac{l}{g}}\right)$