Номер 12.5, страница 89 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Механические колебания и волны. 12. Механические колебания. Упражнения - номер 12.5, страница 89.

Условие.

12.5. Найдите период колебаний жидкости в U-образном сосуде постоянного сечения. Длина всего столба жидкости равна $2H$.

☑ $T = 2\pi \sqrt{\frac{H}{g}}$

Решение. Пусть уровни жидкости в обоих коленах отклонились от равновесного уровня на $\text{x}$ (см. рисунок). Тогда потенциальная энергия жидкости $W_p = \rho S g x^2 = \frac{mg}{2H} x^2$. (за нулевой уровень принята энергия жидкости в состоянии равновесия). Полная энергия колеблющейся жидкости $W = \frac{mg}{2H} x^2 + \frac{m}{2}(x')^2$. Следовательно, жидкость совершает гармонические колебания с циклической частотой $\omega = \sqrt{g/H}$.

Решение.

Дано:

U-образный сосуд постоянного поперечного сечения S

Длина столба жидкости: $L = 2H$

Плотность жидкости: $\rho$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Период колебаний жидкости $T$.

Решение:

Рассмотрим U-образный сосуд, в котором жидкость находится в равновесии. Уровни жидкости в обоих коленах одинаковы.

Выведем жидкость из положения равновесия. Пусть в одном колене уровень жидкости поднимется на высоту $x$, тогда в другом колене уровень опустится на такую же высоту $x$ из-за несжимаемости жидкости и постоянства сечения сосуда. В результате разность уровней жидкости в коленах составит $2x$.

Эта разность уровней создает избыточное давление, которое стремится вернуть систему в положение равновесия. Возникает возвращающая сила, равная весу столба жидкости высотой $2x$.

Масса этого избыточного столба жидкости $m_{изб}$ равна:

$m_{изб} = V_{изб} \cdot \rho = (S \cdot 2x) \cdot \rho = 2\rho Sx$

Возвращающая сила $F_{возвр}$, действующая на всю жидкость, равна весу этого столба и направлена в сторону, противоположную смещению:

$F_{возвр} = -m_{изб} \cdot g = -2\rho Sgx$

Знак "минус" указывает на то, что сила является возвращающей.

Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает ускорение $a$ всей массе жидкости $m$ в сосуде. Полная масса жидкости равна:

$m = V \cdot \rho = (S \cdot L) \cdot \rho = (S \cdot 2H) \cdot \rho = 2\rho HS$

Запишем второй закон Ньютона:

$F_{возвр} = m \cdot a$

Подставим выражения для силы и массы. Ускорение $a$ является второй производной от смещения $x$ по времени: $a = x''$.

$-2\rho Sgx = (2\rho HS) \cdot x''$

Сократим обе части уравнения на $2\rho S$:

$-gx = Hx''$

Перенесем все члены в одну сторону:

$Hx'' + gx = 0$

Разделим на $H$:

$x'' + \frac{g}{H}x = 0$

Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний, которое имеет общий вид $x'' + \omega^2 x = 0$, где $\omega$ — циклическая частота колебаний.

Сравнивая два уравнения, находим квадрат циклической частоты:

$\omega^2 = \frac{g}{H}$

Отсюда циклическая частота равна:

$\omega = \sqrt{\frac{g}{H}}$

Период колебаний $T$ связан с циклической частотой соотношением $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Подставим найденное значение $\omega$:

$T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{g}{H}}} = 2\pi\sqrt{\frac{H}{g}}$

Ответ:

Период колебаний жидкости равен $T = 2\pi\sqrt{\frac{H}{g}}$.