Номер 48, страница 87 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Законы сохранения в механике. 11. Механическая работа. Энергия. Закон сохранения энергии. Олимпиадные задачи - номер 48, страница 87.

Условие.

O-48. Какова кинетическая энергия $W_k$ обруча массой $\text{m}$, катящегося без проскальзывания со скоростью $\text{v}$ по плоской поверхности?

☑ $W_k = mv^2$.

Указание. См. задачу O-47.

Решение.

Дано:

Масса обруча: $m$
Скорость центра масс обруча: $v$
Условие: качение без проскальзывания

Найти:

Кинетическая энергия обруча: $W_k$

Решение:

Полная кинетическая энергия тела, катящегося без проскальзывания, является суммой кинетической энергии поступательного движения его центра масс и кинетической энергии вращательного движения относительно центра масс.

$W_k = W_{k, \text{пост}} + W_{k, \text{вращ}}$

Кинетическая энергия поступательного движения определяется по формуле:

$W_{k, \text{пост}} = \frac{1}{2}mv^2$

где $m$ – масса обруча, а $v$ – скорость его центра масс.

Кинетическая энергия вращательного движения определяется по формуле:

$W_{k, \text{вращ}} = \frac{1}{2}I\omega^2$

где $I$ – момент инерции обруча относительно оси, проходящей через его центр масс, и $\omega$ – его угловая скорость.

Момент инерции обруча (рассматриваемого как тонкое кольцо) радиусом $R$ относительно оси, проходящей через центр перпендикулярно его плоскости, равен:

$I = mR^2$

Условие качения без проскальзывания связывает линейную скорость центра масс $v$ и угловую скорость $\omega$ следующим соотношением:

$v = \omega R$

Из этого соотношения выразим угловую скорость:

$\omega = \frac{v}{R}$

Теперь подставим выражения для момента инерции $I$ и угловой скорости $\omega$ в формулу для кинетической энергии вращательного движения:

$W_{k, \text{вращ}} = \frac{1}{2} (mR^2) \left(\frac{v}{R}\right)^2 = \frac{1}{2} mR^2 \frac{v^2}{R^2} = \frac{1}{2}mv^2$

Наконец, найдем полную кинетическую энергию, сложив энергию поступательного и вращательного движений:

$W_k = W_{k, \text{пост}} + W_{k, \text{вращ}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2$

Ответ: Кинетическая энергия обруча, катящегося без проскальзывания, равна $W_k = mv^2$.