Номер 11.13, страница 82 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Законы сохранения в механике. 11. Механическая работа. Энергия. Закон сохранения энергии. Упражнения - номер 11.13, страница 82.

Условие.

11.13. Небольшое тело массой $\text{m}$ соскальзывает без трения по наклонному желобу, переходящему в окружность радиуса $\text{R}$, и проходит «мертвую петлю», не отрываясь от желоба. С какой силой $\text{N}$ давит тело на желоб в верхней точке окружности, если тело соскальзывает с высоты $\text{H}$? С какой минимальной начальной высоты $H_{\text{min}}$ должно соскальзывать тело, чтобы оно при движении не отрывалось от желоба?

☑ $H_{\text{min}} = 5R/2$.

Решение. Если тело в верхней точке не отрывается от желоба, на тело в этой точке действуют сила тяжести $m\vec{g}$ и сила реакции желоба $\vec{N}$, направленные обе вниз.

Поскольку тело движется по окружности радиуса $\text{R}$, равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $v^2/R$, где $\text{v}$ — скорость тела в верхней точке окружности. В проекциях на направленную вниз ось $\text{x}$ уравнение второго закона Ньютона $F_x = ma_x$ имеет вид: $N + mg = \frac{mv^2}{R}$.

Чтобы найти правую часть этого уравнения, можно воспользоваться законом сохранения механической энергии, поскольку на тело при его движении действуют только сила тяжести и сила упругости. Сопоставим нулевой уровень потенциальной энергии с состоянием, при котором тело находится в нижней точке окружности. Тогда $mgH = 2mgR + \frac{mv^2}{2}$, откуда $\frac{mv^2}{R} = \frac{2mgH}{R} - 4mg$.

Подставляя полученное выражение для $mv^2/R$ в уравнение $N + mg = \frac{mv^2}{R}$, находим $N + mg = \frac{2mgH}{R} - 4mg$, откуда $N = \frac{2mgH}{R} - 5mg$. Поскольку $N \ge 0$, получаем $H \ge 5R/2$, т. е. $H_{\text{min}} = 5R/2$.

Решение.

Дано:

Масса тела: $m$
Радиус окружности желоба: $R$
Начальная высота соскальзывания: $H$
Трение отсутствует.

Найти:

$N$ - сила давления тела на желоб в верхней точке.
$H_{min}$ - минимальная начальная высота.

Решение:

С какой силой N давит тело на желоб в верхней точке окружности, если тело соскальзывает с высоты H?

Для нахождения силы давления $N$ необходимо сначала определить скорость тела $v$ в верхней точке "мертвой петли". Воспользуемся законом сохранения механической энергии, так как трение отсутствует, и на тело действуют только консервативные силы (сила тяжести) и сила реакции опоры, работа которой равна нулю (она перпендикулярна перемещению).

Примем за нулевой уровень потенциальной энергии нижнюю точку петли. Тогда начальная энергия тела на высоте $H$ равна его потенциальной энергии:

$E_{1} = mgH$

В верхней точке петли, на высоте $2R$ от нулевого уровня, тело обладает как потенциальной, так и кинетической энергией. Его полная энергия в этой точке:

$E_{2} = mg(2R) + \frac{mv^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии, $E_1 = E_2$:

$mgH = 2mgR + \frac{mv^2}{2}$

Из этого уравнения выразим $mv^2$, которое понадобится для второго закона Ньютона:

$mv^2 = 2(mgH - 2mgR) = 2mg(H - 2R)$

Теперь рассмотрим силы, действующие на тело в верхней точке петли. На него действуют сила тяжести $mg$ и сила реакции опоры $N$, обе направленные вертикально вниз, к центру окружности. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $a_c = \frac{v^2}{R}$:

$N + mg = m a_c = \frac{mv^2}{R}$

Подставим найденное ранее выражение для $mv^2$:

$N + mg = \frac{2mg(H - 2R)}{R}$

Выразим силу реакции опоры $N$:

$N = \frac{2mgH}{R} - \frac{4mgR}{R} - mg = \frac{2mgH}{R} - 4mg - mg = \frac{2mgH}{R} - 5mg$

Сила давления, с которой тело действует на желоб, по третьему закону Ньютона равна по модулю силе реакции опоры $N$.

Ответ: Сила давления тела на желоб в верхней точке окружности равна $N = mg(\frac{2H}{R} - 5)$.

С какой минимальной начальной высоты $H_{min}$ должно соскальзывать тело, чтобы оно при движении не отрывалось от желоба?

Тело не отрывается от желоба, пока существует сила реакции опоры, то есть пока $N \ge 0$. Критическим условием, соответствующим минимальной высоте, является почти полный отрыв тела от желоба, что означает $N = 0$.

Возьмем полученное выше выражение для $N$ и применим условие $N \ge 0$:

$mg(\frac{2H}{R} - 5) \ge 0$

Поскольку $m > 0$ и $g > 0$, мы можем разделить обе части на $mg$ без изменения знака неравенства:

$\frac{2H}{R} - 5 \ge 0$

$\frac{2H}{R} \ge 5$

$H \ge \frac{5R}{2}$

Таким образом, минимальная высота, с которой должно соскальзывать тело, чтобы не оторваться от желоба, составляет $H_{min} = \frac{5R}{2}$.

Ответ: Минимальная начальная высота $H_{min} = \frac{5R}{2}$.