Номер 44, страница 84 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Авторы: Гельфгат И. М., Генденштейн Л. Э., Кирик Л. А.
Тип: Задачник
Издательство: Илекса
Год издания: 2008 - 2025
Уровень обучения: профильный
Цвет обложки: красный лупа, парень едет на велосипеде
ISBN: 978-5-89237-252-7
Популярные ГДЗ в 10 классе
Олимпиадные задачи. 11. Механическая работа. Энергия. Закон сохранения энергии. Законы сохранения в механике. Механика - номер 44, страница 84.
№44 (с. 84)
Условие. №44 (с. 84)
скриншот условия


О-44. Шар массой $m_1$ налетает на неподвижный шар массой $m_2$. Происходит лобовое упругое соударение. Как зависит доля $\alpha$ переданной при соударении энергии от отношения масс шаров $k = m_1 / m_2$? Постройте график зависимости $\alpha(k)$.
☑ См. рисунок.
Решение. Пусть начальная скорость первого шара $v_0$, а проекция его конечной скорости на направление начального движения равна $v_1$. Обозначив $v_2$ скорость второго шара после удара и записав законы сохранения энергии и импульса, получаем систему уравнений
$\begin{cases} m_1 (v_0 - v_1) = m_2 v_2, \\ m_1 (v_0^2 - v_1^2) = m_2 v_2^2. \end{cases}$
Разделив второе уравнение на первое, получим $v_0 + v_1 = v_2$. Решая это уравнение совместно с первым уравнением, находим $v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_0$, $v_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_0$. Доля энергии, переданной первым шаром второму, $\alpha = \frac{m_2 v_2^2}{m_1 v_0^2} = \frac{4 m_1 m_2}{(m_1 + m_2)^2} = \frac{4k}{(1+k)^2}$. График зависимости $\alpha(k)$ приведен на рисунке.
Наиболее эффективная передача энергии происходит при значениях $\text{k}$, близких к единице: при $k = 1$ вся энергия налетающего шара передается другому шару.
Решение. №44 (с. 84)
Дано:
Масса налетающего шара: $m_1$
Масса неподвижного шара: $m_2$
Начальная скорость первого шара: $v_0$
Начальная скорость второго шара: $v_{02} = 0$
Тип соударения: лобовое, абсолютно упругое
Отношение масс: $k = m_1/m_2$
Найти:
Зависимость доли переданной энергии $\alpha$ от отношения масс $k$, т.е. найти функцию $\alpha(k)$ и построить ее график.
Решение
При абсолютно упругом центральном соударении выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.
Пусть $v_1$ и $v_2$ – скорости первого и второго шаров после соударения соответственно. Запишем законы сохранения в проекции на ось, совпадающую с направлением начального движения первого шара:
1. Закон сохранения импульса:
$m_1 v_0 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
2. Закон сохранения кинетической энергии:
$\frac{m_1 v_0^2}{2} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$
Преобразуем эти уравнения:
$m_1 (v_0 - v_1) = m_2 v_2 \quad (1)$
$m_1 (v_0^2 - v_1^2) = m_2 v_2^2 \quad (2)$
Разложим левую часть второго уравнения по формуле разности квадратов: $m_1 (v_0 - v_1)(v_0 + v_1) = m_2 v_2^2$.
Теперь разделим преобразованное уравнение (2) на уравнение (1). Так как происходит передача энергии, $v_2 \neq 0$ и $v_0 \neq v_1$, поэтому деление возможно.
$\frac{m_1 (v_0 - v_1)(v_0 + v_1)}{m_1 (v_0 - v_1)} = \frac{m_2 v_2^2}{m_2 v_2}$
В результате получаем простое соотношение скоростей:
$v_0 + v_1 = v_2$
Подставим это выражение для $v_2$ в уравнение (1), чтобы найти $v_1$:
$m_1 (v_0 - v_1) = m_2 (v_0 + v_1)$
$m_1 v_0 - m_1 v_1 = m_2 v_0 + m_2 v_1$
$v_0(m_1 - m_2) = v_1(m_1 + m_2)$
$v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_0$
Теперь найдем скорость второго шара $v_2$:
$v_2 = v_0 + v_1 = v_0 + \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_0 = \frac{v_0(m_1 + m_2) + v_0(m_1 - m_2)}{m_1 + m_2} = \frac{2m_1 v_0}{m_1 + m_2}$
Доля переданной энергии $\alpha$ — это отношение кинетической энергии, полученной вторым шаром ($E_2$), к начальной кинетической энергии первого шара ($E_0$).
$\alpha = \frac{E_2}{E_0} = \frac{m_2 v_2^2 / 2}{m_1 v_0^2 / 2} = \frac{m_2 v_2^2}{m_1 v_0^2}$
Подставим найденное выражение для $v_2$:
$\alpha = \frac{m_2}{m_1 v_0^2} \left( \frac{2m_1 v_0}{m_1 + m_2} \right)^2 = \frac{m_2}{m_1 v_0^2} \frac{4m_1^2 v_0^2}{(m_1 + m_2)^2} = \frac{4m_1 m_2}{(m_1 + m_2)^2}$
Теперь выразим эту зависимость через $k = m_1/m_2$. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на $m_2^2$:
$\alpha = \frac{4(m_1/m_2)}{(m_1/m_2 + m_2/m_2)^2} = \frac{4(m_1/m_2)}{(m_1/m_2 + 1)^2}$
Заменив $m_1/m_2$ на $k$, получаем искомую функцию:
$\alpha(k) = \frac{4k}{(1+k)^2}$
Ответ: Доля переданной энергии зависит от отношения масс шаров как $\alpha(k) = \frac{4k}{(1+k)^2}$.
Построение графика зависимости α(k)
Исследуем функцию $\alpha(k) = \frac{4k}{(1+k)^2}$ при $k > 0$.
1. При $k \rightarrow 0$ (очень легкий шар налетает на тяжелый), $\alpha \rightarrow 0$.
2. При $k \rightarrow \infty$ (очень тяжелый шар налетает на легкий), $\alpha = \frac{4k}{k^2(1/k+1)^2} \approx \frac{4}{k} \rightarrow 0$.
3. Найдем максимум функции, взяв производную и приравняв ее к нулю:
$\alpha'(k) = \frac{4(1+k)^2 - 4k \cdot 2(1+k)}{((1+k)^2)^2} = \frac{4(1+k) - 8k}{(1+k)^3} = \frac{4-4k}{(1+k)^3}$
$\alpha'(k)=0 \implies 4-4k=0 \implies k=1$.
В точке $k=1$ находится максимум функции. Найдем значение функции в этой точке:
$\alpha(1) = \frac{4 \cdot 1}{(1+1)^2} = \frac{4}{4} = 1$
Таким образом, максимальная передача энергии (100%) происходит при столкновении шаров одинаковой массы ($m_1 = m_2$).
График функции начинается в точке (0, 0), плавно возрастает до максимума в точке (1, 1), а затем плавно убывает, асимптотически приближаясь к оси абсцисс. Этот график полностью совпадает с приведенным на рисунке в условии.
Ответ: График зависимости $\alpha(k)$ — это кривая, выходящая из начала координат, достигающая максимума $\alpha=1$ при $k=1$ и асимптотически стремящаяся к нулю при $k \rightarrow \infty$. Наиболее эффективная передача энергии происходит при $k=1$, то есть когда массы шаров равны.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по физике за 10-11 класс, для упражнения номер 44 расположенного на странице 84 к задачнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по физике к упражнению №44 (с. 84), авторов: Гельфгат (Илья Маркович), Генденштейн (Лев Элевич), Кирик (Леонид Анатольевич), профильный уровень обучения учебного пособия издательства Илекса.