Номер 44, страница 84 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Законы сохранения в механике. 11. Механическая работа. Энергия. Закон сохранения энергии. Олимпиадные задачи - номер 44, страница 84.

Условие.

О-44. Шар массой $m_1$ налетает на неподвижный шар массой $m_2$. Происходит лобовое упругое соударение. Как зависит доля $\alpha$ переданной при соударении энергии от отношения масс шаров $k = m_1 / m_2$? Постройте график зависимости $\alpha(k)$.

☑ См. рисунок.

Решение. Пусть начальная скорость первого шара $v_0$, а проекция его конечной скорости на направление начального движения равна $v_1$. Обозначив $v_2$ скорость второго шара после удара и записав законы сохранения энергии и импульса, получаем систему уравнений

$\begin{cases} m_1 (v_0 - v_1) = m_2 v_2, \\ m_1 (v_0^2 - v_1^2) = m_2 v_2^2. \end{cases}$

Разделив второе уравнение на первое, получим $v_0 + v_1 = v_2$. Решая это уравнение совместно с первым уравнением, находим $v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_0$, $v_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_0$. Доля энергии, переданной первым шаром второму, $\alpha = \frac{m_2 v_2^2}{m_1 v_0^2} = \frac{4 m_1 m_2}{(m_1 + m_2)^2} = \frac{4k}{(1+k)^2}$. График зависимости $\alpha(k)$ приведен на рисунке.

Наиболее эффективная передача энергии происходит при значениях $\text{k}$, близких к единице: при $k = 1$ вся энергия налетающего шара передается другому шару.

Решение.

Дано:

Масса налетающего шара: $m_1$

Масса неподвижного шара: $m_2$

Начальная скорость первого шара: $v_0$

Начальная скорость второго шара: $v_{02} = 0$

Тип соударения: лобовое, абсолютно упругое

Отношение масс: $k = m_1/m_2$

Найти:

Зависимость доли переданной энергии $\alpha$ от отношения масс $k$, т.е. найти функцию $\alpha(k)$ и построить ее график.

Решение

При абсолютно упругом центральном соударении выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Пусть $v_1$ и $v_2$ – скорости первого и второго шаров после соударения соответственно. Запишем законы сохранения в проекции на ось, совпадающую с направлением начального движения первого шара:

1. Закон сохранения импульса:

$m_1 v_0 = m_1 v_1 + m_2 v_2$

2. Закон сохранения кинетической энергии:

$\frac{m_1 v_0^2}{2} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$

Преобразуем эти уравнения:

$m_1 (v_0 - v_1) = m_2 v_2 \quad (1)$

$m_1 (v_0^2 - v_1^2) = m_2 v_2^2 \quad (2)$

Разложим левую часть второго уравнения по формуле разности квадратов: $m_1 (v_0 - v_1)(v_0 + v_1) = m_2 v_2^2$.

Теперь разделим преобразованное уравнение (2) на уравнение (1). Так как происходит передача энергии, $v_2 \neq 0$ и $v_0 \neq v_1$, поэтому деление возможно.

$\frac{m_1 (v_0 - v_1)(v_0 + v_1)}{m_1 (v_0 - v_1)} = \frac{m_2 v_2^2}{m_2 v_2}$

В результате получаем простое соотношение скоростей:

$v_0 + v_1 = v_2$

Подставим это выражение для $v_2$ в уравнение (1), чтобы найти $v_1$:

$m_1 (v_0 - v_1) = m_2 (v_0 + v_1)$

$m_1 v_0 - m_1 v_1 = m_2 v_0 + m_2 v_1$

$v_0(m_1 - m_2) = v_1(m_1 + m_2)$

$v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_0$

Теперь найдем скорость второго шара $v_2$:

$v_2 = v_0 + v_1 = v_0 + \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_0 = \frac{v_0(m_1 + m_2) + v_0(m_1 - m_2)}{m_1 + m_2} = \frac{2m_1 v_0}{m_1 + m_2}$

Доля переданной энергии $\alpha$ — это отношение кинетической энергии, полученной вторым шаром ($E_2$), к начальной кинетической энергии первого шара ($E_0$).

$\alpha = \frac{E_2}{E_0} = \frac{m_2 v_2^2 / 2}{m_1 v_0^2 / 2} = \frac{m_2 v_2^2}{m_1 v_0^2}$

Подставим найденное выражение для $v_2$:

$\alpha = \frac{m_2}{m_1 v_0^2} \left( \frac{2m_1 v_0}{m_1 + m_2} \right)^2 = \frac{m_2}{m_1 v_0^2} \frac{4m_1^2 v_0^2}{(m_1 + m_2)^2} = \frac{4m_1 m_2}{(m_1 + m_2)^2}$

Теперь выразим эту зависимость через $k = m_1/m_2$. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на $m_2^2$:

$\alpha = \frac{4(m_1/m_2)}{(m_1/m_2 + m_2/m_2)^2} = \frac{4(m_1/m_2)}{(m_1/m_2 + 1)^2}$

Заменив $m_1/m_2$ на $k$, получаем искомую функцию:

$\alpha(k) = \frac{4k}{(1+k)^2}$

Ответ: Доля переданной энергии зависит от отношения масс шаров как $\alpha(k) = \frac{4k}{(1+k)^2}$.

Построение графика зависимости α(k)

Исследуем функцию $\alpha(k) = \frac{4k}{(1+k)^2}$ при $k > 0$.

1. При $k \rightarrow 0$ (очень легкий шар налетает на тяжелый), $\alpha \rightarrow 0$.

2. При $k \rightarrow \infty$ (очень тяжелый шар налетает на легкий), $\alpha = \frac{4k}{k^2(1/k+1)^2} \approx \frac{4}{k} \rightarrow 0$.

3. Найдем максимум функции, взяв производную и приравняв ее к нулю:

$\alpha'(k) = \frac{4(1+k)^2 - 4k \cdot 2(1+k)}{((1+k)^2)^2} = \frac{4(1+k) - 8k}{(1+k)^3} = \frac{4-4k}{(1+k)^3}$

$\alpha'(k)=0 \implies 4-4k=0 \implies k=1$.

В точке $k=1$ находится максимум функции. Найдем значение функции в этой точке:

$\alpha(1) = \frac{4 \cdot 1}{(1+1)^2} = \frac{4}{4} = 1$

Таким образом, максимальная передача энергии (100%) происходит при столкновении шаров одинаковой массы ($m_1 = m_2$).

График функции начинается в точке (0, 0), плавно возрастает до максимума в точке (1, 1), а затем плавно убывает, асимптотически приближаясь к оси абсцисс. Этот график полностью совпадает с приведенным на рисунке в условии.

Ответ: График зависимости $\alpha(k)$ — это кривая, выходящая из начала координат, достигающая максимума $\alpha=1$ при $k=1$ и асимптотически стремящаяся к нулю при $k \rightarrow \infty$. Наиболее эффективная передача энергии происходит при $k=1$, то есть когда массы шаров равны.