Номер 12.3, страница 88 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 12. Механические колебания. Механические колебания и волны. Механика - номер 12.3, страница 88.

Условие.

12.3. Как будет меняться период колебаний ведерка с водой, подвешенного на длинном шнуре, если из отверстия в его дне постепенно будет вытекать вода?

Решение. Для системы, описанной в задаче, хорошим приближением является модель математического маятника. Если ведро было заполнено целиком, то сначала период будет увеличиваться, так как центр тяжести системы (ведро — вода) при вытекании воды сначала будет понижаться, и вследствие этого будет расти длина маятника. Затем будет происходить уменьшение периода вследствие повышения центра тяжести системы (ведро — вода). Когда вода выльется целиком, период колебаний станет равен первоначальному, так как восстановится первоначальная длина.

Решение.

Решение

Систему, состоящую из ведерка с водой, подвешенного на длинном шнуре, можно рассматривать как физический маятник. Для длинного шнура хорошим приближением является модель математического маятника. Период колебаний такого маятника определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$

где $L$ – это расстояние от точки подвеса до центра тяжести колеблющейся системы (ведерко + вода), а $g$ – ускорение свободного падения. Из формулы видно, что период $T$ зависит от корня квадратного из длины $L$. Таким образом, чтобы понять, как меняется период, нужно проанализировать, как изменяется положение центра тяжести системы, а следовательно, и эффективная длина маятника $L$.

1. Начальное состояние. Когда ведерко полностью заполнено водой, центр тяжести системы находится на некоторой высоте. Этому положению соответствует начальная длина маятника $L_{нач}$ и начальный период колебаний $T_{нач}$.

2. Начало вытекания воды. Когда вода начинает вытекать из отверстия в дне, уровень воды в ведерке понижается. В результате общий центр тяжести системы (ведерко + оставшаяся вода) смещается вниз. Это приводит к увеличению эффективной длины маятника $L$. Поскольку период $T$ пропорционален $\sqrt{L}$, он начинает увеличиваться.

3. Промежуточное состояние. Процесс опускания центра тяжести продолжается до тех пор, пока он не достигнет своего самого нижнего положения. В этот момент длина маятника $L$ будет максимальной, и, соответственно, период колебаний $T$ также достигнет своего максимального значения.

4. Дальнейшее вытекание воды. После того как центр тяжести пройдет свою низшую точку, он начнет подниматься. Это происходит потому, что масса оставшейся воды становится все меньше по сравнению с массой пустого ведерка, и положение общего центра тяжести начинает приближаться к положению центра тяжести самого ведерка, который находится выше. Уменьшение длины маятника $L$ приводит к уменьшению периода колебаний $T$.

5. Конечное состояние. Когда вся вода вытечет, останется только пустое ведерко. Центр тяжести системы будет совпадать с центром тяжести пустого ведерка. Для ведерка симметричной формы (например, цилиндрического) можно считать, что его центр тяжести находится на той же высоте, что и центр тяжести полного ведерка в самом начале. В этом случае длина маятника вернется к своему первоначальному значению ($L_{кон} = L_{нач}$), и период колебаний также вернется к исходному значению ($T_{кон} = T_{нач}$).

Ответ: Период колебаний ведерка с водой сначала будет увеличиваться, достигнет максимального значения, а затем будет уменьшаться. Если предположить, что центр тяжести пустого ведерка находится на той же высоте, что и центр тяжести полного ведерка, то в конце, когда вся вода вытечет, период колебаний вернется к своему первоначальному значению.