Номер 50, страница 92 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 12. Механические колебания. Механические колебания и волны. Механика - номер 50, страница 92.

Условие.

O-50. Два грузика массами $m_1$ и $m_2$, находящиеся на гладкой горизонтальной поверхности, соединены легкой пружиной. Жесткость пружины $\text{k}$. Каков период $\text{T}$ свободных колебаний системы, если при колебаниях грузики движутся вдоль одной прямой?

☑ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}}$

Решение. Будем рассматривать движение в системе отсчета центра масс. Поскольку при колебаниях все витки пружины деформируются одинаково, неподвижный в этой системе отсчета центр масс «привязан» все время к одной и той же точке пружины (точка С на рисунке).

Следовательно, эту точку можно рассматривать как закрепленную. Она делит пружину на две части, причем к колебаниям каждой части применима обычная формула периода колебаний пружинного маятника.

Если полная длина пружины $\text{l}$, то длины этих частей соответственно $l_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2} l$ и $l_2 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} l$. Коэффициент жесткости пружины обратно пропорционален ее длине, поэтому $k_1 = k \frac{l}{l_1} = k \frac{m_1 + m_2}{m_2}$, $k_2 = k \frac{l}{l_2} = k \frac{m_1 + m_2}{m_1}$. Период колебаний каждой части пружины $T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k_1}} = 2\pi \sqrt{\frac{m_2}{k_2}} = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}}$.

Естественно, периоды колебаний обеих частей одинаковы: иначе центр масс не мог бы покоиться. Грузики колеблются в противофазе — их скорости в любой момент направлены противоположно друг другу.

Решение.

Дано:

Массы двух грузов: $m_1$ и $m_2$.

Жесткость пружины: $k$.

Грузы находятся на гладкой горизонтальной поверхности.

Найти:

Период свободных колебаний системы $T$.

Решение:

Данная задача описывает колебания системы двух тел, связанных пружиной. Для ее решения можно использовать метод приведенной массы или рассмотреть движение в системе отсчета, связанной с центром масс.

Рассмотрим движение грузов вдоль горизонтальной оси $x$. Пусть в некоторый момент времени $t$ их координаты равны $x_1$ и $x_2$, а равновесная длина пружины равна $l_0$.

Сила упругости, действующая на первый груз, равна $F_1 = k(x_2 - x_1 - l_0)$.

Сила упругости, действующая на второй груз, равна $F_2 = -k(x_2 - x_1 - l_0)$.

Согласно второму закону Ньютона, уравнения движения грузов имеют вид:

$m_1 \frac{d^2x_1}{dt^2} = k(x_2 - x_1 - l_0)$

$m_2 \frac{d^2x_2}{dt^2} = -k(x_2 - x_1 - l_0)$

Поскольку на систему не действуют внешние горизонтальные силы, ее центр масс либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Колебания происходят относительно центра масс.

Для нахождения периода колебаний удобно рассмотреть относительное движение грузов. Введем относительную координату $x = x_2 - x_1$, равную длине пружины. Нас интересует, как эта величина изменяется со временем. Найдем ее вторую производную по времени (относительное ускорение):

$\ddot{x} = \ddot{x}_2 - \ddot{x}_1$

Из уравнений движения выразим ускорения каждого из грузов:

$\ddot{x}_1 = \frac{k}{m_1}(x_2 - x_1 - l_0) = \frac{k}{m_1}(x - l_0)$

$\ddot{x}_2 = -\frac{k}{m_2}(x_2 - x_1 - l_0) = -\frac{k}{m_2}(x - l_0)$

Подставим эти выражения в формулу для относительного ускорения:

$\ddot{x} = \left(-\frac{k}{m_2}(x - l_0)\right) - \left(\frac{k}{m_1}(x - l_0)\right) = -k\left(\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}\right)(x - l_0)$

Преобразуем выражение в скобках:

$\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} = \frac{m_2 + m_1}{m_1 m_2}$

Тогда уравнение для относительной координаты $x$ принимает вид:

$\ddot{x} = -k\frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2}(x - l_0)$

Введем величину $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$, которую называют приведенной массой системы. Уравнение движения можно переписать как:

$\mu\ddot{x} = -k(x - l_0)$

Это уравнение описывает гармонические колебания. Оно аналогично уравнению колебаний тела с массой $\mu$, прикрепленного к пружине жесткостью $k$. Стандартный вид уравнения гармонических колебаний: $\ddot{y} = -\omega^2 y$, где $y = x - l_0$ - отклонение от положения равновесия.

Сравнивая, находим квадрат циклической частоты колебаний $\omega$:

$\omega^2 = \frac{k}{\mu} = \frac{k(m_1 + m_2)}{m_1 m_2}$

Период колебаний $T$ связан с циклической частотой соотношением $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Отсюда находим период колебаний системы:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{1}{\omega^2}} = 2\pi\sqrt{\frac{\mu}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}}$

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}}$.