Номер 53, страница 96 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Механические колебания и волны. 12. Механические колебания. Олимпиадные задачи - номер 53, страница 96.

Условие.

O-53. Во сколько раз изменится частота малых колебаний небольшого груза на легком стержне (см. рисунок), если к середине стержня прикрепить легкую горизонтальную пружину жесткостью $\text{k}$? В равновесии стержень занимает вертикальное положение.

☑ Увеличится в $\sqrt{1 + \frac{kl}{4mg}}$ раз.

Решение. В отсутствие пружины мы имеем дело с обычным математическим маятником, частота которого$v_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$. Прикрепление пружины увеличивает возвращающую силу при отклонении маятника от положения равновесия, так что частота колебаний должна вырасти. Проще всего определить частоту $v_2$ колебаний системы из выражения для полной механической энергии $\text{E}$ системы.

При отклонении груза от положения равновесия на $x \ll l$ он приобретает потенциальную энергию $mgh = \frac{mgx^2}{2l}$ (см. решение задачи О-51).

Кроме того, растяжение пружины на $x/2$ сообщает ей потенциальную энергию $\frac{k(\frac{x}{2})^2}{2}$.

С учетом кинетической энергии $\frac{mv^2}{2} = \frac{m}{2}(x')^2$ получаем

$E = \left(\frac{mg}{l} + \frac{k}{4}\right)\frac{x^2}{2} + \frac{m(x')^2}{2}$.

Отсюда (см. решение задачи О-46) находим циклическую частоту и частоту колебаний: $\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l} + \frac{k}{4m}}; v_2 = \frac{\omega_0}{2\pi}$.

Следовательно, в результате прикрепления пружины частота колебаний увеличивается в $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{1 + \frac{kl}{4mg}}$ раз.

Решение.

Дано

$l$ – длина легкого стержня
$m$ – масса небольшого груза
$k$ – жесткость пружины
$g$ – ускорение свободного падения
Пружина прикреплена к середине стержня.

Найти:

Во сколько раз изменится частота малых колебаний, то есть найти отношение $ \frac{\nu_2}{\nu_1} $.

Решение

Рассмотрим два случая: колебания без пружины и с пружиной.

1. Колебания без пружины.
В отсутствие пружины система представляет собой математический маятник (масса на невесомом стержне). Частота малых колебаний такого маятника определяется известной формулой. Циклическая частота: $ \omega_1 = \sqrt{\frac{g}{l}} $ Обычная частота колебаний $ \nu_1 $: $ \nu_1 = \frac{\omega_1}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}} $

2. Колебания с пружиной.
Прикрепим пружину. Для нахождения новой частоты колебаний $ \nu_2 $ воспользуемся законом сохранения энергии. При малом отклонении стержня от вертикального положения на угол $ \theta $, горизонтальное смещение груза будет $ x = l \sin\theta \approx l\theta $.

Полная механическая энергия системы $E$ складывается из кинетической энергии груза $K$ и потенциальной энергии $U$. Потенциальная энергия, в свою очередь, состоит из потенциальной энергии груза в поле тяжести $U_g$ и потенциальной энергии упругой деформации пружины $U_s$.

Кинетическая энергия: $ K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(\dot{x})^2 $

Потенциальная энергия силы тяжести. При смещении на $x$ груз поднимается на высоту $h = l(1-\cos\theta)$. Для малых углов $ \cos\theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2} $, и $ \theta \approx \frac{x}{l} $. Тогда $ h \approx l \frac{\theta^2}{2} = l \frac{(x/l)^2}{2} = \frac{x^2}{2l} $. $ U_g = mgh = \frac{mgx^2}{2l} $

Потенциальная энергия пружины. Пружина прикреплена к середине стержня, поэтому ее растяжение $ \Delta x_s $ равно половине горизонтального смещения груза: $ \Delta x_s = \frac{x}{2} $. $ U_s = \frac{k(\Delta x_s)^2}{2} = \frac{k(x/2)^2}{2} = \frac{kx^2}{8} $

Полная энергия системы: $ E = K + U_g + U_s = \frac{1}{2}m(\dot{x})^2 + \frac{mgx^2}{2l} + \frac{kx^2}{8} $ Сгруппируем слагаемые с $x^2$: $ E = \frac{1}{2}m(\dot{x})^2 + \left(\frac{mg}{l} + \frac{k}{4}\right)\frac{x^2}{2} $

Это выражение для энергии гармонического осциллятора $ E = \frac{m(\dot{x})^2}{2} + \frac{K_{eff}x^2}{2} $, где эффективный коэффициент жесткости $ K_{eff} = \frac{mg}{l} + \frac{k}{4} $.

Циклическая частота колебаний такой системы равна: $ \omega_2 = \sqrt{\frac{K_{eff}}{m}} = \sqrt{\frac{\frac{mg}{l} + \frac{k}{4}}{m}} = \sqrt{\frac{g}{l} + \frac{k}{4m}} $ Соответственно, обычная частота колебаний $ \nu_2 $: $ \nu_2 = \frac{\omega_2}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l} + \frac{k}{4m}} $

3. Отношение частот.
Найдем, во сколько раз изменилась частота: $ \frac{\nu_2}{\nu_1} = \frac{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l} + \frac{k}{4m}}}{\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}} = \sqrt{\frac{\frac{g}{l} + \frac{k}{4m}}{\frac{g}{l}}} $ $ \frac{\nu_2}{\nu_1} = \sqrt{1 + \frac{k/4m}{g/l}} = \sqrt{1 + \frac{kl}{4mg}} $

Так как $ \sqrt{1 + \frac{kl}{4mg}} > 1 $, частота колебаний увеличится.

Ответ: Частота колебаний увеличится в $ \sqrt{1 + \frac{kl}{4mg}} $ раз.