Номер 12.7, страница 90 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Механические колебания и волны. 12. Механические колебания. Упражнения - номер 12.7, страница 90.

Условие.

12.7. Два одинаковых математических маятника длиной $\text{l}$ связаны невесомой пружиной жесткостью $\text{k}$. На рисунке показано положение равновесия системы. Маятники отклоняют (в плоскости рисунка) на одинаковые по величине углы и отпускают.

Найдите период $\text{T}$ малых колебаний связанных маятников, если: а) маятники отклонены в одну сторону (колебания в одной фазе); б) маятники отклонены в противоположные стороны (колебания в противофазе).

☑ а) $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$; б) $T = 2\pi\sqrt{\frac{ml}{mg + 2kl}}$.

Решение. а) Пружина не деформируется при колебаниях, так что сила упругости не возникает (связь между маятниками «не работает»). Поэтому оба маятника колеблются независимо друг от друга с одним и тем же периодом $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$.

б) Если каждый из маятников отклонился от положения равновесия на величину $\text{x}$, то деформация пружины равна $2x$, а энергия системы

$E = \frac{k(2x)^2}{2} + 2\frac{mgx^2}{2l} + 2\frac{mv^2}{2} = \left(2k + \frac{mg}{l}\right)x^2 + m(x')^2.$

Отсюда $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2k + \frac{mg}{l}}} = 2\pi\sqrt{\frac{ml}{mg + 2kl}}$.

Решение.

Дано:

Два одинаковых математических маятника

Длина нити: $l$

Масса груза: $m$

Жесткость пружины: $k$

Колебания считаются малыми.

Найти:

Период малых колебаний $T$, если:

а) маятники отклонены в одну сторону (колебания в одной фазе);

б) маятники отклонены в противоположные стороны (колебания в противофазе).

Решение:

а) маятники отклонены в одну сторону (колебания в одной фазе)

Когда оба маятника отклоняются на одинаковое малое расстояние в одну и ту же сторону, расстояние между грузами маятников остается постоянным и равным длине недеформированной пружины. Следовательно, пружина не деформируется, и сила упругости, которую она создает, равна нулю. В этом случае связь между маятниками "не работает", и каждый из них колеблется независимо от другого как обычный математический маятник.

Период малых колебаний математического маятника определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ – длина маятника, а $g$ – ускорение свободного падения.

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

б) маятники отклонены в противоположные стороны (колебания в противофазе)

Когда маятники отклоняются на одинаковое малое расстояние $x$ от положения равновесия в противоположные стороны, пружина растягивается (или сжимается) на величину $\Delta l_{пр} = x - (-x) = 2x$.

Рассмотрим силы, действующие на один из маятников (например, левый) в горизонтальном направлении, которые создают возвращающий эффект. Для малых колебаний это:

1. Проекция силы тяжести: $F_g = -mg \sin\alpha$. При малых углах $\sin\alpha \approx \frac{x}{l}$, поэтому $F_g \approx -\frac{mg}{l}x$.

2. Сила упругости пружины: $F_{упр} = -k \Delta l_{пр} = -k(2x) = -2kx$.

Полная возвращающая сила, действующая на маятник, равна сумме этих сил:

$F_{возвр} = F_g + F_{упр} = -\frac{mg}{l}x - 2kx = -(\frac{mg}{l} + 2k)x$.

Это уравнение показывает, что возвращающая сила пропорциональна смещению $x$, а значит, колебания являются гармоническими. Эффективный коэффициент жесткости системы для одного маятника равен $K_{эфф} = \frac{mg}{l} + 2k$.

Согласно второму закону Ньютона, $m\ddot{x} = F_{возвр}$, где $\ddot{x}$ - ускорение.

$m\ddot{x} = -(\frac{mg}{l} + 2k)x$.

Период гармонических колебаний находится по формуле $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{K_{эфф}}}$. Подставим наше значение $K_{эфф}$:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{\frac{mg}{l} + 2k}}$

Преобразуем выражение под корнем, приведя знаменатель к общему делителю:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{\frac{mg + 2kl}{l}}} = 2\pi\sqrt{\frac{ml}{mg + 2kl}}$

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{ml}{mg + 2kl}}$