Номер 12.2, страница 88 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Механические колебания и волны. 12. Механические колебания. Упражнения - номер 12.2, страница 88.

Условие.

12.2. Зависит ли скорость, с которой маятник проходит положение равновесия, от амплитуды колебаний? Почему?

☑ Да.

Решение. Чем больше амплитуда, тем большей потенциальной энергией обладает маятник в крайних положениях и тем большей кинетической энергией — при прохождении положения равновесия.

Решение.

12.2. Да, скорость, с которой маятник проходит положение равновесия, напрямую зависит от амплитуды колебаний. Это следует из закона сохранения механической энергии.

Решение

В системе маятника (при отсутствии трения и сопротивления воздуха) полная механическая энергия $E$ остается постоянной. Она складывается из потенциальной энергии $E_п$ и кинетической энергии $E_к$: $E = E_п + E_к = const$.

1. В крайних точках траектории, то есть при максимальном отклонении от положения равновесия (равном амплитуде $A$), маятник на мгновение останавливается. В этот момент его скорость равна нулю, а значит, и кинетическая энергия $E_к = 0$. Вся механическая энергия системы сосредоточена в потенциальной энергии, которая максимальна: $E = E_{п, макс}$. Для пружинного маятника эта энергия равна $E_{п, макс} = \frac{kA^2}{2}$, где $k$ – жесткость пружины, а $A$ – амплитуда. Для математического маятника $E_{п, макс} = mgh_{макс}$, где высота подъема $h_{макс}$ зависит от амплитуды.

2. При прохождении положения равновесия высота маятника (или растяжение пружины) минимальна. Принято считать потенциальную энергию в этой точке равной нулю: $E_п = 0$. В этот момент скорость маятника максимальна, и вся механическая энергия переходит в кинетическую: $E = E_{к, макс} = \frac{mv_{макс}^2}{2}$.

3. Согласно закону сохранения энергии, максимальная потенциальная энергия в крайней точке равна максимальной кинетической энергии в положении равновесия:

$E_{п, макс} = E_{к, макс}$

Для пружинного маятника:

$\frac{kA^2}{2} = \frac{mv_{макс}^2}{2}$

Отсюда можно выразить максимальную скорость:

$v_{макс}^2 = \frac{k}{m}A^2$

$v_{макс} = A\sqrt{\frac{k}{m}}$

Из этой формулы видно, что максимальная скорость $v_{макс}$, с которой маятник проходит положение равновесия, прямо пропорциональна амплитуде колебаний $A$. Таким образом, чем больше амплитуда, тем больше запас потенциальной энергии в крайних точках и, следовательно, тем больше кинетическая энергия и скорость в положении равновесия.

Ответ: Да, зависит. Чем больше амплитуда колебаний, тем больше скорость маятника при прохождении положения равновесия.