Номер 47, страница 87 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Законы сохранения в механике. 11. Механическая работа. Энергия. Закон сохранения энергии. Олимпиадные задачи - номер 47, страница 87.

Условие.

O-47. Докажите, что кинетическую энергию системы движущихся материальных точек можно представить в виде $W = \frac{M v_c^2}{2} + W_{\text{цм}},$ где $\text{M}$ — суммарная масса всех материальных точек, $v_c$ — скорость центра масс системы точек, $W_{цм}$ — кинетическая энергия материальных точек в системе отсчета их центра масс.

Решение. Обозначим $\vec{v_i}$ скорость i-той материальной точки, а $\vec{u_i}$ — скорость той же точки в системе отсчета центра масс. Эти скорости связаны соотношением $\vec{v_i} = \vec{v_c} + \vec{u_i}$. Кинетическая энергия $\text{N}$ точек:

$W = \sum_{i=1}^N \frac{m_i v_i^2}{2} = \sum_{i=1}^N \frac{m_i (\vec{v_c} + \vec{u_i})^2}{2} = \frac{v_c^2}{2} \sum_{i=1}^N m_i + \vec{v_c} \sum_{i=1}^N m_i \vec{u_i} + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N m_i u_i^2$

Учитывая, что $\sum_{i=1}^N m_i = M$, $\frac{1}{2} \sum_{i=1}^N m_i u_i^2 = W_{\text{цм}}$, а $\sum_{i=1}^N m_i \vec{u_i} = 0$, получаем формулу для $\text{W}$, приведенную в условии задачи*.

Решение.

Дано:

Система, состоящая из $N$ материальных точек.

$m_i$ — масса $i$-й материальной точки.

$\vec{v_i}$ — скорость $i$-й материальной точки в некоторой инерциальной системе отсчета (ИСО).

$M = \sum_{i=1}^{N} m_i$ — суммарная масса всех материальных точек.

$\vec{v_c}$ — скорость центра масс системы в той же ИСО.

$W_{цм}$ — кинетическая энергия материальных точек в системе отсчета, связанной с центром масс (системе центра масс).

Найти:

Доказать, что полная кинетическая энергия системы $W$ может быть представлена как $W = \frac{Mv_c^2}{2} + W_{цм}$.

Решение:

Полная кинетическая энергия системы материальных точек в ИСО по определению равна сумме кинетических энергий всех точек:

$W = \sum_{i=1}^{N} \frac{m_i v_i^2}{2}$

Обозначим скорость $i$-й точки в системе отсчета центра масс как $\vec{u_i}$. Согласно закону сложения скоростей, скорость точки в ИСО ($\vec{v_i}$) связана со скоростью в системе центра масс ($\vec{u_i}$) и скоростью самого центра масс ($\vec{v_c}$) соотношением:

$\vec{v_i} = \vec{v_c} + \vec{u_i}$

Подставим это выражение в формулу для кинетической энергии. Квадрат скорости $v_i^2$ является скалярным произведением вектора скорости на себя: $v_i^2 = \vec{v_i} \cdot \vec{v_i}$.

$W = \sum_{i=1}^{N} \frac{m_i (\vec{v_c} + \vec{u_i})^2}{2} = \sum_{i=1}^{N} \frac{m_i (\vec{v_c} + \vec{u_i}) \cdot (\vec{v_c} + \vec{u_i})}{2}$

Раскроем скобки в скалярном произведении:

$(\vec{v_c} + \vec{u_i}) \cdot (\vec{v_c} + \vec{u_i}) = \vec{v_c} \cdot \vec{v_c} + 2(\vec{v_c} \cdot \vec{u_i}) + \vec{u_i} \cdot \vec{u_i} = v_c^2 + 2(\vec{v_c} \cdot \vec{u_i}) + u_i^2$

Тогда выражение для $W$ примет вид:

$W = \sum_{i=1}^{N} \frac{m_i (v_c^2 + 2(\vec{v_c} \cdot \vec{u_i}) + u_i^2)}{2}$

Разделим сумму на три части:

$W = \sum_{i=1}^{N} \frac{m_i v_c^2}{2} + \sum_{i=1}^{N} m_i(\vec{v_c} \cdot \vec{u_i}) + \sum_{i=1}^{N} \frac{m_i u_i^2}{2}$

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.

1. Первое слагаемое: $\sum_{i=1}^{N} \frac{m_i v_c^2}{2}$. Так как скорость центра масс $v_c$ является величиной, общей для всей системы, её можно вынести за знак суммы:

$\sum_{i=1}^{N} \frac{m_i v_c^2}{2} = \frac{v_c^2}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i = \frac{M v_c^2}{2}$

Это слагаемое представляет собой кинетическую энергию движения системы как единого целого со скоростью центра масс.

2. Третье слагаемое: $\sum_{i=1}^{N} \frac{m_i u_i^2}{2}$. Это по определению есть кинетическая энергия системы в системе отсчета центра масс:

$\sum_{i=1}^{N} \frac{m_i u_i^2}{2} = W_{цм}$

3. Второе слагаемое: $\sum_{i=1}^{N} m_i(\vec{v_c} \cdot \vec{u_i})$. Вынесем постоянный вектор $\vec{v_c}$ за знак суммы:

$\sum_{i=1}^{N} m_i(\vec{v_c} \cdot \vec{u_i}) = \vec{v_c} \cdot \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{u_i}$

Сумма $\sum_{i=1}^{N} m_i \vec{u_i}$ представляет собой суммарный импульс всех точек системы в системе отсчета центра масс. По определению системы отсчета центра масс, этот импульс равен нулю. Докажем это. Скорость центра масс $\vec{v_c}$ определяется как $\vec{v_c} = \frac{\sum m_i \vec{v_i}}{M}$. Отсюда $\sum m_i \vec{v_i} = M \vec{v_c}$.

Подставим $\vec{v_i} = \vec{v_c} + \vec{u_i}$:

$\sum_{i=1}^{N} m_i (\vec{v_c} + \vec{u_i}) = M \vec{v_c}$

$\sum_{i=1}^{N} m_i \vec{v_c} + \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{u_i} = M \vec{v_c}$

$\vec{v_c} \sum_{i=1}^{N} m_i + \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{u_i} = M \vec{v_c}$

$M \vec{v_c} + \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{u_i} = M \vec{v_c}$

Из этого следует, что $\sum_{i=1}^{N} m_i \vec{u_i} = 0$.

Следовательно, второе слагаемое в выражении для энергии равно нулю:

$\vec{v_c} \cdot \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{u_i} = \vec{v_c} \cdot 0 = 0$

Собирая все три слагаемых вместе, получаем итоговую формулу:

$W = \frac{M v_c^2}{2} + 0 + W_{цм} = \frac{M v_c^2}{2} + W_{цм}$

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Формула $W = \frac{Mv_c^2}{2} + W_{цм}$ доказана. Она показывает, что полная кинетическая энергия системы (теорема Кёнига) складывается из кинетической энергии движения системы как целого (с массой $M$ и скоростью центра масс $v_c$) и кинетической энергии внутреннего движения частиц относительно центра масс.