Номер 11.12, страница 81 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Авторы: Гельфгат И. М., Генденштейн Л. Э., Кирик Л. А.
Тип: Задачник
Издательство: Илекса
Год издания: 2008 - 2025
Уровень обучения: профильный
Цвет обложки: красный лупа, парень едет на велосипеде
ISBN: 978-5-89237-252-7
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. 11. Механическая работа. Энергия. Закон сохранения энергии. Законы сохранения в механике. Механика - номер 11.12, страница 81.
№11.12 (с. 81)
Условие. №11.12 (с. 81)
скриншот условия

11.12. Два железнодорожных вагона массами $m_1$ и $m_2$ медленно движутся в одну сторону со скоростями $v_1$ и $v_2$. Вагоны сталкиваются, и пружины буферов расталкивают их так, что удар можно считать упругим. Какова максимальная энергия $\text{E}$ упругой деформации пружин?
☑ $E = \frac{m_1 m_2 (v_1 - v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}.$
Решение. В момент наибольшего сжатия пружины оба вагона имеют одинаковую скорость $\text{v}$, которую можно найти из закона сохранения импульса: $v = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$. Согласно закону сохранения энергии $E + \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$, откуда $E = \frac{m_1 m_2 (v_1 - v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$
Решение. №11.12 (с. 81)
Дано:
Масса первого вагона: $m_1$
Масса второго вагона: $m_2$
Начальная скорость первого вагона: $v_1$
Начальная скорость второго вагона: $v_2$
Примечание: Поскольку вагоны движутся в одну сторону и сталкиваются, это означает, что первый вагон догоняет второй, то есть $v_1 > v_2$. Удар считается абсолютно упругим.
Найти:
Максимальная энергия упругой деформации пружин: $E$
Решение:
Рассмотрим систему, состоящую из двух железнодорожных вагонов. Поскольку внешние горизонтальные силы, действующие на систему, отсутствуют (или их равнодействующая равна нулю), для этой системы в процессе столкновения будет выполняться закон сохранения импульса. Так как удар по условию упругий, то также выполняется закон сохранения механической энергии.
Максимальная энергия упругой деформации пружин $E$ будет достигнута в момент их наибольшего сжатия. В этот момент времени оба вагона движутся как единое целое, то есть их скорости одинаковы и равны некоторому значению $v$.
Для нахождения этой скорости $v$ воспользуемся законом сохранения импульса. Запишем его в проекции на ось, вдоль которой движутся вагоны.
Суммарный импульс системы до столкновения равен:
$p_{до} = m_1 v_1 + m_2 v_2$
Суммарный импульс системы в момент максимального сжатия пружин, когда оба вагона движутся со скоростью $v$:
$p_{момент} = (m_1 + m_2) v$
Согласно закону сохранения импульса, $p_{до} = p_{момент}$:
$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v$
Отсюда выразим скорость $v$:
$v = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$
Теперь применим закон сохранения механической энергии. Полная механическая энергия системы до столкновения состояла только из кинетической энергии двух вагонов (потенциальная энергия пружин равна нулю).
$E_{до} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$
В момент максимального сжатия пружин полная механическая энергия системы складывается из кинетической энергии двух вагонов, движущихся как единое целое, и максимальной потенциальной энергии упругой деформации пружин $E$.
$E_{момент} = \frac{(m_1 + m_2) v^2}{2} + E$
По закону сохранения энергии $E_{до} = E_{момент}$:
$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{(m_1 + m_2) v^2}{2} + E$
Из этого уравнения выразим искомую энергию $E$:
$E = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} - \frac{(m_1 + m_2) v^2}{2}$
Подставим в это выражение ранее найденную скорость $v$:
$E = \frac{1}{2} (m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2) - \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \left( \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} \right)^2$
Упростим второе слагаемое:
$E = \frac{1}{2} (m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2) - \frac{(m_1 v_1 + m_2 v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$
Приведем всё к общему знаменателю $2(m_1 + m_2)$:
$E = \frac{(m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2)(m_1 + m_2) - (m_1 v_1 + m_2 v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$
Раскроем скобки в числителе:
$(m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2)(m_1 + m_2) = m_1^2 v_1^2 + m_1 m_2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2 + m_2^2 v_2^2$
$(m_1 v_1 + m_2 v_2)^2 = m_1^2 v_1^2 + 2m_1 m_2 v_1 v_2 + m_2^2 v_2^2$
Теперь вычтем второе из первого:
Числитель = $(m_1^2 v_1^2 + m_1 m_2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2 + m_2^2 v_2^2) - (m_1^2 v_1^2 + 2m_1 m_2 v_1 v_2 + m_2^2 v_2^2)$
Числитель = $m_1^2 v_1^2 - m_1^2 v_1^2 + m_1 m_2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2 - 2m_1 m_2 v_1 v_2 + m_2^2 v_2^2 - m_2^2 v_2^2$
Числитель = $m_1 m_2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2 - 2m_1 m_2 v_1 v_2$
Вынесем за скобки общий множитель $m_1 m_2$:
Числитель = $m_1 m_2 (v_1^2 - 2v_1 v_2 + v_2^2)$
Выражение в скобках является полным квадратом разности $(v_1 - v_2)^2$:
Числитель = $m_1 m_2 (v_1 - v_2)^2$
Подставим полученное выражение для числителя обратно в формулу для $E$:
$E = \frac{m_1 m_2 (v_1 - v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$
Эту же величину можно интерпретировать как кинетическую энергию относительного движения двух тел, которая полностью переходит в потенциальную энергию в момент максимального сжатия.
Ответ: Максимальная энергия упругой деформации пружин равна $E = \frac{m_1 m_2 (v_1 - v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по физике за 10-11 класс, для упражнения номер 11.12 расположенного на странице 81 к задачнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по физике к упражнению №11.12 (с. 81), авторов: Гельфгат (Илья Маркович), Генденштейн (Лев Элевич), Кирик (Леонид Анатольевич), профильный уровень обучения учебного пособия издательства Илекса.