Номер 11.12, страница 81 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Законы сохранения в механике. 11. Механическая работа. Энергия. Закон сохранения энергии. Упражнения - номер 11.12, страница 81.

Условие.

11.12. Два железнодорожных вагона массами $m_1$ и $m_2$ медленно движутся в одну сторону со скоростями $v_1$ и $v_2$. Вагоны сталкиваются, и пружины буферов расталкивают их так, что удар можно считать упругим. Какова максимальная энергия $\text{E}$ упругой деформации пружин?

☑ $E = \frac{m_1 m_2 (v_1 - v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}.$

Решение. В момент наибольшего сжатия пружины оба вагона имеют одинаковую скорость $\text{v}$, которую можно найти из закона сохранения импульса: $v = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$. Согласно закону сохранения энергии $E + \frac{(m_1 + m_2)v^2}{2} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$, откуда $E = \frac{m_1 m_2 (v_1 - v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$

Решение.

Дано:

Масса первого вагона: $m_1$

Масса второго вагона: $m_2$

Начальная скорость первого вагона: $v_1$

Начальная скорость второго вагона: $v_2$

Примечание: Поскольку вагоны движутся в одну сторону и сталкиваются, это означает, что первый вагон догоняет второй, то есть $v_1 > v_2$. Удар считается абсолютно упругим.

Найти:

Максимальная энергия упругой деформации пружин: $E$

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из двух железнодорожных вагонов. Поскольку внешние горизонтальные силы, действующие на систему, отсутствуют (или их равнодействующая равна нулю), для этой системы в процессе столкновения будет выполняться закон сохранения импульса. Так как удар по условию упругий, то также выполняется закон сохранения механической энергии.

Максимальная энергия упругой деформации пружин $E$ будет достигнута в момент их наибольшего сжатия. В этот момент времени оба вагона движутся как единое целое, то есть их скорости одинаковы и равны некоторому значению $v$.

Для нахождения этой скорости $v$ воспользуемся законом сохранения импульса. Запишем его в проекции на ось, вдоль которой движутся вагоны.

Суммарный импульс системы до столкновения равен:

$p_{до} = m_1 v_1 + m_2 v_2$

Суммарный импульс системы в момент максимального сжатия пружин, когда оба вагона движутся со скоростью $v$:

$p_{момент} = (m_1 + m_2) v$

Согласно закону сохранения импульса, $p_{до} = p_{момент}$:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v$

Отсюда выразим скорость $v$:

$v = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

Теперь применим закон сохранения механической энергии. Полная механическая энергия системы до столкновения состояла только из кинетической энергии двух вагонов (потенциальная энергия пружин равна нулю).

$E_{до} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$

В момент максимального сжатия пружин полная механическая энергия системы складывается из кинетической энергии двух вагонов, движущихся как единое целое, и максимальной потенциальной энергии упругой деформации пружин $E$.

$E_{момент} = \frac{(m_1 + m_2) v^2}{2} + E$

По закону сохранения энергии $E_{до} = E_{момент}$:

$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{(m_1 + m_2) v^2}{2} + E$

Из этого уравнения выразим искомую энергию $E$:

$E = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} - \frac{(m_1 + m_2) v^2}{2}$

Подставим в это выражение ранее найденную скорость $v$:

$E = \frac{1}{2} (m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2) - \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \left( \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} \right)^2$

Упростим второе слагаемое:

$E = \frac{1}{2} (m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2) - \frac{(m_1 v_1 + m_2 v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$

Приведем всё к общему знаменателю $2(m_1 + m_2)$:

$E = \frac{(m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2)(m_1 + m_2) - (m_1 v_1 + m_2 v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2)(m_1 + m_2) = m_1^2 v_1^2 + m_1 m_2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2 + m_2^2 v_2^2$

$(m_1 v_1 + m_2 v_2)^2 = m_1^2 v_1^2 + 2m_1 m_2 v_1 v_2 + m_2^2 v_2^2$

Теперь вычтем второе из первого:

Числитель = $(m_1^2 v_1^2 + m_1 m_2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2 + m_2^2 v_2^2) - (m_1^2 v_1^2 + 2m_1 m_2 v_1 v_2 + m_2^2 v_2^2)$

Числитель = $m_1^2 v_1^2 - m_1^2 v_1^2 + m_1 m_2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2 - 2m_1 m_2 v_1 v_2 + m_2^2 v_2^2 - m_2^2 v_2^2$

Числитель = $m_1 m_2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2 - 2m_1 m_2 v_1 v_2$

Вынесем за скобки общий множитель $m_1 m_2$:

Числитель = $m_1 m_2 (v_1^2 - 2v_1 v_2 + v_2^2)$

Выражение в скобках является полным квадратом разности $(v_1 - v_2)^2$:

Числитель = $m_1 m_2 (v_1 - v_2)^2$

Подставим полученное выражение для числителя обратно в формулу для $E$:

$E = \frac{m_1 m_2 (v_1 - v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$

Эту же величину можно интерпретировать как кинетическую энергию относительного движения двух тел, которая полностью переходит в потенциальную энергию в момент максимального сжатия.

Ответ: Максимальная энергия упругой деформации пружин равна $E = \frac{m_1 m_2 (v_1 - v_2)^2}{2(m_1 + m_2)}$.