Номер 46, страница 86 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Законы сохранения в механике. 11. Механическая работа. Энергия. Закон сохранения энергии. Олимпиадные задачи - номер 46, страница 86.

Условие.

O-46. Потенциальная энергия взаимодействия двух материальных точек имеет вид $E_{\text{П}} = C/r$, где $\text{r}$ — расстояние между точками. Докажите, что эти материальные точки взаимодействуют с силой $\text{F}$, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. При каких значениях $\text{C}$ взаимодействие является притяжением?

Решение. При изменении расстояния между материальными точками на $\Delta r \ll r$ потенциальная энергия изменится на величину $\Delta E_{\text{П}} = \frac{C}{r+\Delta r} - \frac{C}{r} = -\frac{C \cdot \Delta r}{r(r+\Delta r)} \approx -\frac{C \cdot \Delta r}{r^2}$.

Поскольку эта величина связана с работой силы соотношением $\Delta E_{\text{П}} = -A = -F \cdot \Delta r$, получаем $F = \frac{C}{r^2}$. Если $C > 0$, при сближении тел $E_{\text{П}}$ увеличивается. Это означает, что для сближения тел необходимо совершать работу, т. е. случай $C > 0$ соответствует отталкиванию. Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что случай $C < 0$ соответствует притяжению. Заметим, что сила всемирного тяготения $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ принадлежит как раз к рассматриваемому виду сил; потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или сферически симметричных тел) $E_{\text{П}} = -G \frac{m_1 m_2}{r}$. При подъеме тела массой $\text{m}$ на небольшую высоту $\text{h}$ над поверхностью Земли потенциальная энергия увеличивается на величину $\Delta E_{\text{П}} = -G \frac{mM}{R+h} + G \frac{mM}{R} = G \frac{mMh}{R(R+h)} \approx G \frac{mM}{R^2} h$.

Здесь $\text{R}$ и $\text{M}$ — радиус и масса Земли. Учитывая, что $G \frac{mM}{R^2} = mg$, получаем $\Delta E_{\text{П}} = mgh$ (чего и следовало ожидать).

Решение.

Дано:

Потенциальная энергия взаимодействия двух материальных точек: $E_П = \frac{C}{r}$, где $r$ - расстояние между точками, $C$ - константа.

Найти:

1. Доказать, что сила взаимодействия $F$ обратно пропорциональна квадрату расстояния $r$.

2. Определить, при каких значениях $C$ взаимодействие является притяжением.

Решение:

Докажите, что эти материальные точки взаимодействуют с силой F, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Сила, действующая в консервативном поле, связана с потенциальной энергией этого поля. Для взаимодействия, зависящего только от расстояния, сила $F$ является производной от потенциальной энергии $E_П$ по расстоянию $r$, взятой с обратным знаком:

$F = - \frac{dE_П}{dr}$

Здесь $F$ — это проекция силы на направление, соединяющее точки. Положительное значение $F$ соответствует отталкиванию (сила направлена в сторону увеличения $r$), а отрицательное — притяжению (сила направлена в сторону уменьшения $r$).

Найдем производную от заданной потенциальной энергии $E_П = C/r$ по расстоянию $r$:

$\frac{dE_П}{dr} = \frac{d}{dr} \left(\frac{C}{r}\right) = \frac{d}{dr} (C \cdot r^{-1}) = C \cdot (-1) \cdot r^{-1-1} = -C \cdot r^{-2} = -\frac{C}{r^2}$

Теперь подставим полученное выражение в формулу для силы:

$F = - \left(-\frac{C}{r^2}\right) = \frac{C}{r^2}$

Из полученной формулы видно, что модуль силы взаимодействия $|F| = \frac{|C|}{r^2}$ обратно пропорционален квадрату расстояния $r^2$ между точками, что и требовалось доказать.

Ответ: Сила взаимодействия выражается формулой $F = \frac{C}{r^2}$, следовательно, она обратно пропорциональна квадрату расстояния между точками.

При каких значениях C взаимодействие является притяжением?

Взаимодействие является притяжением, когда сила направлена на сближение точек. В нашей системе координат это соответствует отрицательному значению проекции силы на радиальное направление, то есть $F < 0$.

Используем полученное ранее выражение для силы:

$F = \frac{C}{r^2}$

Чтобы выполнялось условие притяжения ($F < 0$), необходимо, чтобы выполнялось неравенство:

$\frac{C}{r^2} < 0$

Поскольку расстояние $r$ является положительной величиной, его квадрат $r^2$ также всегда положителен ($r^2 > 0$). Следовательно, для того чтобы вся дробь была отрицательной, ее числитель должен быть отрицательным:

$C < 0$

Таким образом, взаимодействие является притяжением, когда константа $C$ отрицательна. Примером такого взаимодействия является гравитация, где потенциальная энергия имеет вид $E_П = -G\frac{m_1 m_2}{r}$, и константа $C = -Gm_1 m_2 < 0$.

Ответ: Взаимодействие является притяжением при $C < 0$.