Номер 12.4, страница 89 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Механические колебания и волны. 12. Механические колебания. Упражнения - номер 12.4, страница 89.

Условие.

12.4. В кабине лифта, находящегося на верхнем этаже небоскреба, совершает малые колебания подвешенный на нити шарик. Нить привязана к гвоздю, вбитому в стену кабины. Трос лифта обрывается, и лифт начинает падать. Опишите движение шарика относительно лифта на протяжении всего падения. Учтите при этом, что на лифт действует сила сопротивления воздуха, зависящая от скорости падения.

Решение.

В начале падения сопротивлением воздуха можно пренебречь (лифт падает свободно), поэтому в лифте возникает невесомость. Это равносильно «выключению» силы тяжести, а вместе с ней — и силы, возвращающей маятник к положению равновесия. Значит, скорость маятника будет оставаться постоянной по величине. В частности, если в начальный момент маятник находился в крайнем положении, он так и застынет в этом положении; если же в начальный момент маятник двигался, он будет равномерно двигаться по окружности (мы предполагаем, что маятник не ударяется о потолок и стены). При дальнейшем падении начнет сказываться сопротивление воздуха: ускорение лифта будет уменьшаться. Это приведет к постепенному «включению» силы тяжести: маятник снова начнет совершать колебания, частота которых будет увеличиваться. Через некоторое время (если высота небоскреба достаточно велика) движение лифта станет равномерным. Если колебания маятника останутся малыми, он будет колебаться с той же частотой, что и в покоящемся лифте.

Решение.

Решение

Движение шарика относительно кабины лифта можно проанализировать, разделив его на три последовательных этапа, которые зависят от ускорения лифта.

1. Начальный этап: свободное падение.

Сразу после обрыва троса лифт и все находящиеся в нем тела, включая шарик, начинают падать с ускорением свободного падения, $a = g$. В системе отсчета, связанной с лифтом, на шарик действует сила инерции, направленная вверх и равная по модулю силе тяжести ($F_{ин} = mg$). В результате этого в кабине возникает состояние невесомости. Эффективное ускорение свободного падения становится равным нулю: $g_{эфф} = g - a = 0$.

Поскольку возвращающая сила, вызывающая колебания маятника, пропорциональна $g_{эфф}$, она исчезает. Колебания прекращаются. Шарик будет двигаться по инерции, то есть прямолинейно и равномерно, с той скоростью, которую он имел в момент обрыва троса. Если в этот момент он был в крайнем положении (скорость равна нулю), он останется неподвижным относительно кабины. Если он проходил положение равновесия, он продолжит движение с постоянной скоростью в этом направлении до столкновения со стеной или до натяжения нити.

2. Промежуточный этап: падение с учётом сопротивления воздуха.

По мере падения скорость лифта увеличивается, и на него начинает действовать возрастающая сила сопротивления воздуха $F_{сопр}$. Ускорение лифта, согласно второму закону Ньютона, становится меньше $g$: $a = g - \frac{F_{сопр}}{M}$, где $M$ — масса лифта.

В кабине лифта "восстанавливается" эффективное ускорение свободного падения, направленное вниз: $g_{эфф} = g - a = \frac{F_{сопр}}{M}$. Так как скорость лифта и, следовательно, сила сопротивления воздуха со временем увеличиваются, $g_{эфф}$ также постепенно возрастает от нуля. Это приводит к тому, что маятник снова начинает совершать колебания. Частота этих колебаний, $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g_{эфф}}{L}}$, будет увеличиваться по мере роста скорости падения лифта.

3. Заключительный этап: движение с постоянной скоростью.

Если высота небоскреба достаточно велика, лифт в конечном итоге достигнет терминальной (предельной) скорости. Это произойдет, когда сила сопротивления воздуха уравновесит силу тяжести ($F_{сопр} = Mg$). С этого момента ускорение лифта станет равным нулю ($a=0$), и он будет двигаться равномерно.

Система отсчета, связанная с лифтом, станет инерциальной. Эффективное ускорение свободного падения внутри кабины станет равным $g_{эфф} = g - 0 = g$. В результате шарик будет колебаться с постоянной частотой $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}$, то есть так же, как и в неподвижном лифте.

Ответ: Сразу после обрыва троса в лифте наступает невесомость, колебания прекращаются, и шарик движется прямолинейно и равномерно. По мере роста скорости падения лифта из-за сопротивления воздуха его ускорение уменьшается, в кабине появляется и постепенно нарастает "эффективная" сила тяжести. Маятник возобновляет колебания, частота которых со временем увеличивается. При достижении лифтом постоянной терминальной скорости маятник колеблется с такой же частотой, как и в неподвижном лифте.