Номер 12.6, страница 90 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 12. Механические колебания. Механические колебания и волны. Механика - номер 12.6, страница 90.

Условие.

12.6. К пружине, имеющей жесткость $\text{k}$, подвешена чашка. На чашку с высоты $\text{h}$ падает без начальной скорости липкий шарик массой $\text{m}$. Найдите амплитуду $\text{A}$ возникающих колебаний. Массами пружины и чашки можно пренебречь.

☑ $A = \sqrt{\left(\frac{mg}{k}\right)^2 + \frac{2mgh}{k}}$

Решение. Поскольку чашка очень легкая, можно пренебречь потерей механической энергии при ударе шарика о чашку. Пусть максимальное отклонение чашки от начального положения равно $\text{$. Скорость чашки с шариком в этот момент равна нулю, значит, потерянная шариком потенциальная энергия $mg(h + x)$ полностью перешла в энергию деформированной пружины $kx^2/2$. Отсюда получаем два решения:

$x_{1,2} = \frac{mg}{k} \pm \sqrt{\left(\frac{mg}{k}\right)^2 + \frac{2mgh}{k}}$

Оба решения имеют смысл и соответствуют верхнему и нижнему крайним положениям чашки при колебаниях. Среднее арифметическое двух решений, равное $mg/k$, соответствует положению равновесия чашки с шариком. Амплитуда $\text{$ колебаний определяется из условия $x_{1,2} = mg/k \pm A$.

Решение.

Дано:

Жесткость пружины: $k$

Масса шарика: $m$

Высота падения шарика над чашкой: $h$

Начальная скорость шарика: $v_0 = 0$

Массами пружины и чашки можно пренебречь.

Найти:

Амплитуду колебаний $A$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Поскольку в условии сказано, что массой чашки можно пренебречь, то потерями механической энергии при абсолютно неупругом ударе шарика о чашку также можно пренебречь. Это позволяет нам применить закон сохранения энергии для системы "шарик-пружина" для всего процесса: от начального положения шарика на высоте $h$ до его нижней точки в процессе колебаний.

Выберем за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии положение равновесия ненагруженной пружины (начальное положение чашки). Направим ось координат $x$ вертикально вниз.

1. Начальное состояние: шарик находится в покое на высоте $h$ над чашкой. Полная механическая энергия системы (относительно выбранного нулевого уровня) равна потенциальной энергии шарика:

$E_{1} = mgh$

2. Промежуточное состояние: шарик упал на чашку, и система "шарик-чашка-пружина" начала колебаться. Рассмотрим момент, когда система достигает нижней точки траектории (максимального смещения вниз). Обозначим это смещение от начального положения как $x_{max}$. В этой точке скорость системы равна нулю. Полная механическая энергия системы в этой точке складывается из потенциальной энергии упруго деформированной пружины и потенциальной энергии шарика в поле тяжести:

$E_{2} = \frac{1}{2}kx_{max}^2 - mgx_{max}$

Знак "минус" у потенциальной энергии шарика обусловлен тем, что он опустился ниже нулевого уровня на расстояние $x_{max}$.

По закону сохранения энергии $E_{1} = E_{2}$:

$mgh = \frac{1}{2}kx_{max}^2 - mgx_{max}$

Перепишем это уравнение в виде стандартного квадратного уравнения относительно $x_{max}$:

$\frac{1}{2}kx_{max}^2 - mgx_{max} - mgh = 0$

Это уравнение можно решить, чтобы найти максимальное смещение. Однако, как показано в задачнике, можно пойти другим путем. Рассмотрим энергию системы, выбрав за нулевой уровень потенциальной энергии самую нижнюю точку траектории. Тогда потерянная шариком потенциальная энергия $mg(h + x_{max})$ полностью переходит в потенциальную энергию пружины $\frac{1}{2}kx_{max}^2$:

$mg(h + x_{max}) = \frac{1}{2}kx_{max}^2$

$kx_{max}^2 - 2mgx_{max} - 2mgh = 0$

Решениями этого квадратного уравнения являются крайние точки колебаний (верхняя и нижняя), где скорость равна нулю:

$x_{1,2} = \frac{2mg \pm \sqrt{(-2mg)^2 - 4(k)(-2mgh)}}{2k} = \frac{2mg \pm \sqrt{4(mg)^2 + 8kmgh}}{2k}$

$x_{1,2} = \frac{mg}{k} \pm \frac{\sqrt{(mg)^2 + 2kmgh}}{k} = \frac{mg}{k} \pm \sqrt{(\frac{mg}{k})^2 + \frac{2mgh}{k}}$

Эти два значения, $x_1$ и $x_2$, соответствуют нижней и верхней точкам колебаний. Центр колебаний (положение равновесия) находится посредине между этими точками:

$x_{eq} = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1}{2} \left( \left(\frac{mg}{k} + \sqrt{...}\right) + \left(\frac{mg}{k} - \sqrt{...}\right) \right) = \frac{mg}{k}$

Амплитуда колебаний $A$ — это расстояние от положения равновесия до любой из крайних точек. Например:

$A = x_1 - x_{eq} = \left(\frac{mg}{k} + \sqrt{(\frac{mg}{k})^2 + \frac{2mgh}{k}}\right) - \frac{mg}{k}$

$A = \sqrt{(\frac{mg}{k})^2 + \frac{2mgh}{k}}$

Ответ: $A = \sqrt{(\frac{mg}{k})^2 + \frac{2mgh}{k}}$