Номер 12.1, страница 88 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Механические колебания и волны. 12. Механические колебания. Упражнения - номер 12.1, страница 88.

Условие.

12.1. Математический маятник длиной 1 м колеблется с амплитудой 1 см. За какое время он пройдет путь, равный 1 см, если в начальный момент маятник проходит положение равновесия? За какое время маятник пройдет: а) первую половину этого пути; б) вторую половину этого пути?

☑ 0,5 с; 0,17 с; 0,33 с.

Решение. Поскольку амплитуда колебаний намного меньше длины маятника, колебания можно считать гармоническими. Их период $T = 2\pi\sqrt{l/g} = 2,0$ с. Путь, равный амплитуде колебаний, маятник проходит из положения равновесия за четверть периода, т. е. за 0,5 с. Для ответа на два последних вопроса необходимо использовать уравнение гармонических колебаний. Поскольку $x = 0$ при $t = 0$, это уравнение принимает вид $x = A\sin\omega t = A\sin(2\pi t/T)$. При $x = A/2$ получаем $t = T/12 = 0,17$ (с). На вторую половину пути маятнику понадобится время $T/4 - T/12 = T/6 = 0,33$ (с), т. е. вдвое больше, чем на первую половину. Это связано с тем, что при удалении от положения равновесия движение замедляется.

Решение.

Дано:

$l = 1$ м
$A = 1$ см
$S = 1$ см
$x_0 = 0$ (в начальный момент маятник проходит положение равновесия)

$A = 0.01$ м
$S = 0.01$ м

Найти:

$t$ - время прохождения пути $S$.
$t_a$ - время прохождения первой половины пути.
$t_b$ - время прохождения второй половины пути.

Решение:

Поскольку амплитуда колебаний ($A=1$ см) намного меньше длины маятника ($l=1$ м), его колебания можно считать гармоническими. Период колебаний математического маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx \pi^2 \approx 9.87$ м/с², что является стандартным приближением для упрощения расчетов.

$T = 2\pi\sqrt{\frac{1 \text{ м}}{\pi^2 \text{ м/с}^2}} = 2\pi \cdot \frac{1}{\pi} \text{ с} = 2$ с

Путь, который требуется пройти маятнику, равен $S=1$ см, что совпадает с амплитудой колебаний $A=1$ см. Маятник начинает движение из положения равновесия ($x=0$) и движется к крайнему положению ($x=A$). Время, необходимое для прохождения этого пути, равно одной четверти периода колебаний.

$t = \frac{T}{4} = \frac{2 \text{ с}}{4} = 0.5$ с

Ответ: Время, за которое маятник пройдет путь в 1 см, равно 0,5 с.

а) первую половину этого пути

Найдем время $t_a$, за которое маятник пройдет первую половину пути, то есть сместится на расстояние $x_1 = \frac{A}{2}$. Уравнение гармонических колебаний для маятника, который в момент $t=0$ находится в положении равновесия ($x=0$), имеет вид:

$x(t) = A \sin(\omega t)$, где $\omega = \frac{2\pi}{T}$ - циклическая частота.

Подставим значение $x_1 = \frac{A}{2}$ в уравнение:

$\frac{A}{2} = A \sin(\omega t_a)$

$\frac{1}{2} = \sin(\omega t_a)$

Отсюда фаза колебаний $\omega t_a = \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Зная, что $\omega = \frac{2\pi}{T}$, выразим время $t_a$:

$\frac{2\pi}{T} t_a = \frac{\pi}{6}$

$t_a = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{12}$

Подставив значение периода $T=2$ с, получим:

$t_a = \frac{2 \text{ с}}{12} = \frac{1}{6} \text{ с} \approx 0.17$ с

Ответ: 0,17 с.

б) вторую половину этого пути

Вторая половина пути — это движение от $x_1 = \frac{A}{2}$ до $x_2 = A$. Время $t_b$, затраченное на этот участок, можно найти как разность общего времени движения до $x=A$ ($t = T/4$) и времени движения до $x=A/2$ ($t_a = T/12$).

$t_b = t - t_a = \frac{T}{4} - \frac{T}{12} = \frac{3T - T}{12} = \frac{2T}{12} = \frac{T}{6}$

Подставив значение периода $T=2$ с, получим:

$t_b = \frac{2 \text{ с}}{6} = \frac{1}{3} \text{ с} \approx 0.33$ с

Как и ожидалось, время прохождения второй половины пути больше, чем первой, поскольку по мере удаления от положения равновесия скорость маятника уменьшается.

Ответ: 0,33 с.