номер 45, страница 85 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

O-45. На гладкой горизонтальной поверхности покоится гладкая горка (см. рисунок). На горку налетает скользящее по поверхности небольшое тело. Каким может быть результат столкновения? При движении по горке тело не отрывается от нее.

☑ При $v < v_0 = \sqrt{2gH(1+m/M)}$ тело соскальзывает с горки, не дойдя до ее вершины и передав горке часть своего импульса и своей энергии; при $v > v_0$ тело преодолеет горку и продолжит движение со скоростью $\text{v}$, а горка сместится вправо от начального положения и остановится; при $v = v_0$ тело может некоторое время двигаться вместе с горкой, находясь на ее вершине.

Решение. Результат столкновения зависит от того, преодолеет ли тело вершину горки. Определим минимальную начальную скорость $v_0$ тела, при которой это возможно. Она, очевидно, позволяет телу подняться на вершину горки и там остановиться относительно горки, т. е. двигаться вместе с ней с некоторой скоростью $\text{u}$. Применив к этому движению законы сохранения энергии и импульса, получаем

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{(m+M) \cdot u^2}{2} + mgH$; $mv_0 = (m+M) \cdot u$.

Отсюда $v_0 = \sqrt{2gH\left(1+\frac{m}{M}\right)}$. Заметим, что чем легче горка, тем большая скорость требуется для ее преодоления. Когда $v = v_0$, тело может некоторое время находиться в неустойчивом равновесии на вершине горки. Если бы вершина горки была плоской, тело могло бы там остаться и столкновение можно было бы считать «неупругим» (кинетическая энергия не сохраняется, однако в данном случае она переходит не во внутреннюю, а в потенциальную энергию).

Дано:

Масса тела: $m$

Начальная скорость тела: $v$

Масса горки: $M$

Высота горки: $H$

Горка и поверхность гладкие.

Найти:

Результат столкновения.

Решение:

Результат взаимодействия тела и горки зависит от того, сможет ли тело преодолеть вершину горки. Это, в свою очередь, определяется начальной скоростью тела $v$. Найдем минимальную начальную скорость $v_0$, при которой тело сможет достичь вершины горки.

Условием достижения вершины является то, что в наивысшей точке траектории (на высоте $H$) тело и горка будут иметь одинаковую горизонтальную скорость, которую обозначим $u$. В этот момент тело перестает подниматься относительно горки.

Рассмотрим систему "тело + горка". Поскольку внешние горизонтальные силы отсутствуют (поверхность гладкая), для системы выполняется закон сохранения импульса в горизонтальном направлении:

$mv_0 = (m + M)u$

Так как все поверхности гладкие, трение отсутствует, и для системы выполняется закон сохранения механической энергии. Начальная энергия системы (кинетическая энергия тела) переходит в кинетическую энергию системы "тело + горка" и потенциальную энергию тела:

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{(m+M)u^2}{2} + mgH$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $v_0$ и $u$. Выразим $u$ из первого уравнения:

$u = \frac{mv_0}{m+M}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{(m+M)}{2} \left( \frac{mv_0}{m+M} \right)^2 + mgH$

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{(m+M)m^2v_0^2}{2(m+M)^2} + mgH$

$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{m^2v_0^2}{2(m+M)} + mgH$

Сократим на $m$ и умножим на 2:

$v_0^2 = \frac{mv_0^2}{m+M} + 2gH$

$v_0^2 - \frac{mv_0^2}{m+M} = 2gH$

$v_0^2 \left( 1 - \frac{m}{m+M} \right) = 2gH$

$v_0^2 \left( \frac{m+M-m}{m+M} \right) = 2gH$

$v_0^2 \frac{M}{m+M} = 2gH$

Отсюда находим квадрат критической скорости:

$v_0^2 = 2gH \frac{m+M}{M} = 2gH \left(1 + \frac{m}{M}\right)$

И саму критическую скорость:

$v_0 = \sqrt{2gH\left(1 + \frac{m}{M}\right)}$

Теперь можно проанализировать три возможных случая в зависимости от начальной скорости тела $v$.

1. При $v < v_0$. Начальной кинетической энергии тела недостаточно, чтобы подняться на вершину горки. Тело поднимется на некоторую максимальную высоту $h < H$, после чего соскользнет обратно. В результате взаимодействия горка получит некоторый импульс и сдвинется вправо, а тело, соскользнув, будет двигаться либо влево, либо вправо с меньшей скоростью (в зависимости от соотношения масс).

2. При $v = v_0$. Тело обладает ровно такой энергией, чтобы достичь вершины горки. На вершине скорости тела и горки сравняются, и они будут двигаться как единое целое со скоростью $u = \frac{mv_0}{m+M}$. Если вершина горки представляет собой точку, тело сразу начнет съезжать с нее. Если вершина плоская, тело может некоторое время двигаться вместе с горкой.

3. При $v > v_0$. Начальная энергия тела больше, чем необходимо для преодоления горки. Тело переедет через вершину и продолжит движение вправо. Горка также будет двигаться вправо. Так как взаимодействие в целом упругое (механическая энергия сохраняется), конечные скорости тела $v_f$ и горки $u_f$ будут такими же, как при одномерном упругом столкновении: $v_f = v\frac{m-M}{m+M}$, $u_f = v\frac{2m}{m+M}$.

Ответ:

Результат столкновения зависит от соотношения начальной скорости тела $v$ и критической скорости $v_0 = \sqrt{2gH\left(1 + \frac{m}{M}\right)}$.

• Если $v < v_0$, тело не сможет преодолеть горку. Оно поднимется на некоторую высоту и соскользнет назад. В итоге и тело, и горка будут двигаться.
• Если $v = v_0$, тело достигнет вершины горки, и в этот момент они будут двигаться вместе как единое целое.
• Если $v > v_0$, тело преодолеет горку и продолжит свое движение. Горка также будет двигаться вправо после взаимодействия.