Номер 45, страница 85 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Авторы: Гельфгат И. М., Генденштейн Л. Э., Кирик Л. А.
Тип: Задачник
Издательство: Илекса
Год издания: 2008 - 2025
Уровень обучения: профильный
Цвет обложки: красный лупа, парень едет на велосипеде
ISBN: 978-5-89237-252-7
Популярные ГДЗ в 10 классе
Олимпиадные задачи. 11. Механическая работа. Энергия. Закон сохранения энергии. Законы сохранения в механике. Механика - номер 45, страница 85.
№45 (с. 85)
Условие. №45 (с. 85)
скриншот условия


O-45. На гладкой горизонтальной поверхности покоится гладкая горка (см. рисунок). На горку налетает скользящее по поверхности небольшое тело. Каким может быть результат столкновения? При движении по горке тело не отрывается от нее.
☑ При $v < v_0 = \sqrt{2gH(1+m/M)}$ тело соскальзывает с горки, не дойдя до ее вершины и передав горке часть своего импульса и своей энергии; при $v > v_0$ тело преодолеет горку и продолжит движение со скоростью $\text{v}$, а горка сместится вправо от начального положения и остановится; при $v = v_0$ тело может некоторое время двигаться вместе с горкой, находясь на ее вершине.
Решение. Результат столкновения зависит от того, преодолеет ли тело вершину горки. Определим минимальную начальную скорость $v_0$ тела, при которой это возможно. Она, очевидно, позволяет телу подняться на вершину горки и там остановиться относительно горки, т. е. двигаться вместе с ней с некоторой скоростью $\text{u}$. Применив к этому движению законы сохранения энергии и импульса, получаем
$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{(m+M) \cdot u^2}{2} + mgH$; $mv_0 = (m+M) \cdot u$.
Отсюда $v_0 = \sqrt{2gH\left(1+\frac{m}{M}\right)}$. Заметим, что чем легче горка, тем большая скорость требуется для ее преодоления. Когда $v = v_0$, тело может некоторое время находиться в неустойчивом равновесии на вершине горки. Если бы вершина горки была плоской, тело могло бы там остаться и столкновение можно было бы считать «неупругим» (кинетическая энергия не сохраняется, однако в данном случае она переходит не во внутреннюю, а в потенциальную энергию).
Решение. №45 (с. 85)
Дано:
Масса тела: $m$
Начальная скорость тела: $v$
Масса горки: $M$
Высота горки: $H$
Горка и поверхность гладкие.
Найти:
Результат столкновения.
Решение:
Результат взаимодействия тела и горки зависит от того, сможет ли тело преодолеть вершину горки. Это, в свою очередь, определяется начальной скоростью тела $v$. Найдем минимальную начальную скорость $v_0$, при которой тело сможет достичь вершины горки.
Условием достижения вершины является то, что в наивысшей точке траектории (на высоте $H$) тело и горка будут иметь одинаковую горизонтальную скорость, которую обозначим $u$. В этот момент тело перестает подниматься относительно горки.
Рассмотрим систему "тело + горка". Поскольку внешние горизонтальные силы отсутствуют (поверхность гладкая), для системы выполняется закон сохранения импульса в горизонтальном направлении:
$mv_0 = (m + M)u$
Так как все поверхности гладкие, трение отсутствует, и для системы выполняется закон сохранения механической энергии. Начальная энергия системы (кинетическая энергия тела) переходит в кинетическую энергию системы "тело + горка" и потенциальную энергию тела:
$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{(m+M)u^2}{2} + mgH$
Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $v_0$ и $u$. Выразим $u$ из первого уравнения:
$u = \frac{mv_0}{m+M}$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{(m+M)}{2} \left( \frac{mv_0}{m+M} \right)^2 + mgH$
$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{(m+M)m^2v_0^2}{2(m+M)^2} + mgH$
$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{m^2v_0^2}{2(m+M)} + mgH$
Сократим на $m$ и умножим на 2:
$v_0^2 = \frac{mv_0^2}{m+M} + 2gH$
$v_0^2 - \frac{mv_0^2}{m+M} = 2gH$
$v_0^2 \left( 1 - \frac{m}{m+M} \right) = 2gH$
$v_0^2 \left( \frac{m+M-m}{m+M} \right) = 2gH$
$v_0^2 \frac{M}{m+M} = 2gH$
Отсюда находим квадрат критической скорости:
$v_0^2 = 2gH \frac{m+M}{M} = 2gH \left(1 + \frac{m}{M}\right)$
И саму критическую скорость:
$v_0 = \sqrt{2gH\left(1 + \frac{m}{M}\right)}$
Теперь можно проанализировать три возможных случая в зависимости от начальной скорости тела $v$.
1. При $v < v_0$. Начальной кинетической энергии тела недостаточно, чтобы подняться на вершину горки. Тело поднимется на некоторую максимальную высоту $h < H$, после чего соскользнет обратно. В результате взаимодействия горка получит некоторый импульс и сдвинется вправо, а тело, соскользнув, будет двигаться либо влево, либо вправо с меньшей скоростью (в зависимости от соотношения масс).
2. При $v = v_0$. Тело обладает ровно такой энергией, чтобы достичь вершины горки. На вершине скорости тела и горки сравняются, и они будут двигаться как единое целое со скоростью $u = \frac{mv_0}{m+M}$. Если вершина горки представляет собой точку, тело сразу начнет съезжать с нее. Если вершина плоская, тело может некоторое время двигаться вместе с горкой.
3. При $v > v_0$. Начальная энергия тела больше, чем необходимо для преодоления горки. Тело переедет через вершину и продолжит движение вправо. Горка также будет двигаться вправо. Так как взаимодействие в целом упругое (механическая энергия сохраняется), конечные скорости тела $v_f$ и горки $u_f$ будут такими же, как при одномерном упругом столкновении: $v_f = v\frac{m-M}{m+M}$, $u_f = v\frac{2m}{m+M}$.
Ответ:
Результат столкновения зависит от соотношения начальной скорости тела $v$ и критической скорости $v_0 = \sqrt{2gH\left(1 + \frac{m}{M}\right)}$.
- Если $v < v_0$, тело не сможет преодолеть горку. Оно поднимется на некоторую высоту и соскользнет назад. В итоге и тело, и горка будут двигаться.
- Если $v = v_0$, тело достигнет вершины горки, и в этот момент они будут двигаться вместе как единое целое.
- Если $v > v_0$, тело преодолеет горку и продолжит свое движение. Горка также будет двигаться вправо после взаимодействия.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по физике за 10-11 класс, для упражнения номер 45 расположенного на странице 85 к задачнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по физике к упражнению №45 (с. 85), авторов: Гельфгат (Илья Маркович), Генденштейн (Лев Элевич), Кирик (Леонид Анатольевич), профильный уровень обучения учебного пособия издательства Илекса.