Номер 42, страница 83 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 11. Механическая работа. Энергия. Закон сохранения энергии. Законы сохранения в механике. Механика - номер 42, страница 83.

Условие.

O-42. Ракета массой $\text{M}$ с работающим двигателем неподвижно «зависла» над землей. Скорость вытекающих из ракеты газов равна $\text{u}$. Какова мощность $\text{N}$ двигателя?

☑ $N = Mgu/2$

Решение. За время $\text{t}$ двигатель совершает работу $A = \Delta m \cdot u^2/2$, где $\Delta m$ — масса выброшенных газов. Отсюда мощность двигателя $N = \frac{A}{t} = \frac{\Delta m \cdot u^2}{2t}$. Расход топлива $\Delta m/t$ можно найти из условия, что импульс газовой струи $\Delta m \cdot u$ равен импульсу силы тяжести $Mgt$. Отсюда получаем $\Delta m/t = Mg/u$ и подставляем в формулу для $\text{N}$.

Решение.

Дано:

Масса ракеты: $M$

Скорость вытекающих газов (относительно ракеты): $u$

Ускорение свободного падения: $g$

Состояние ракеты: неподвижна (скорость ракеты $v = 0$)

Найти:

Мощность двигателя: $N$

Решение:

Условие того, что ракета неподвижно «зависла» над землей, заключается в том, что сумма всех действующих на нее сил равна нулю. В данном случае на ракету действуют две силы: сила тяжести $F_{тяж}$, направленная вертикально вниз, и реактивная сила тяги $F_{т}$, создаваемая двигателем и направленная вертикально вверх.

Условие равновесия ракеты можно записать в виде:

$F_{т} = F_{тяж}$

Сила тяжести определяется по формуле:

$F_{тяж} = M \cdot g$

Реактивная сила тяги возникает вследствие изменения импульса выбрасываемых газов. Пусть за малый промежуток времени $dt$ двигатель выбрасывает массу газа $dm$ со скоростью $u$ относительно ракеты. Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме, сила тяги равна скорости изменения импульса отбрасываемой массы:

$F_{т} = \frac{dp}{dt} = \frac{dm \cdot u}{dt} = u \cdot \frac{dm}{dt}$

Здесь $\frac{dm}{dt}$ — это массовый расход топлива (масса газа, выбрасываемая в единицу времени).

Приравнивая силу тяги и силу тяжести, находим необходимый для зависания массовый расход топлива:

$u \cdot \frac{dm}{dt} = M \cdot g$

$\frac{dm}{dt} = \frac{M \cdot g}{u}$

Мощностью двигателя $N$ в данном случае является мощность, развиваемая им для придания кинетической энергии струе вытекающих газов. За время $dt$ масса газа $dm$ приобретает кинетическую энергию $dE_k$:

$dE_k = \frac{1}{2} dm \cdot u^2$

Мощность — это работа в единицу времени, или скорость изменения энергии. Таким образом, мощность двигателя равна:

$N = \frac{dE_k}{dt} = \frac{1}{2} \frac{dm}{dt} \cdot u^2$

Подставим в это выражение найденное ранее значение массового расхода топлива $\frac{dm}{dt}$:

$N = \frac{1}{2} \left( \frac{M \cdot g}{u} \right) \cdot u^2$

Сокращая $u$ в числителе и знаменателе, получаем окончательное выражение для мощности:

$N = \frac{M \cdot g \cdot u}{2}$

Ответ: мощность двигателя равна $N = \frac{Mgu}{2}$.