Номер 11.7, страница 79 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Законы сохранения в механике. 11. Механическая работа. Энергия. Закон сохранения энергии. Упражнения - номер 11.7, страница 79.

Условие.

11.7. С ледяной горки скатываются два мальчика разной массы на одинаковых санках. Одинаковый ли путь пройдет каждый из них по горизонтальному участку до остановки? Ответ объясните. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. Одинаковый, так как с горы они движутся с одинаковым ускорением $a = g \sin \alpha$. На горизонтальном участке движутся с одинаковой начальной скоростью $v_0$ и кинетической энергией, равной $\frac{mv_0^2}{2} = \mu mgl$. Отсюда следует, что путь $l = \frac{v_0^2}{2\mu g}$ от массы не зависит.

Решение.

Для решения этой задачи рассмотрим движение санок в два этапа: скатывание с ледяной горки и движение по горизонтальному участку до полной остановки. Мы будем использовать закон сохранения энергии и теорему о кинетической энергии.

Дано:
$m_1$ – масса первого мальчика
$m_2$ – масса второго мальчика ($m_1 \neq m_2$)
$m_c$ – масса санок (одинаковая)
$h$ – высота горки
$\mu$ – коэффициент трения скольжения на горизонтальном участке
$g$ – ускорение свободного падения

Найти:
Сравнить тормозные пути $l_1$ и $l_2$ мальчиков на горизонтальном участке.

Решение:
1. Этап 1: Скатывание с горки.
Найдем скорость санок у подножия горки. Воспользуемся законом сохранения механической энергии. Поскольку горка ледяная, пренебрежем трением на склоне. В начальный момент времени (на вершине горки) санки с мальчиком обладают потенциальной энергией $E_p$ и нулевой кинетической энергией (начинают движение из состояния покоя).
Пусть $M$ - это общая масса системы (мальчик + санки). Для первого мальчика $M_1 = m_1 + m_c$, для второго $M_2 = m_2 + m_c$.
Начальная энергия на высоте $h$: $E_{нач} = E_p = Mgh$.
В конце спуска (у подножия горки, $h=0$) вся потенциальная энергия переходит в кинетическую $E_k = \frac{Mv^2}{2}$.
Согласно закону сохранения энергии:
$Mgh = \frac{Mv^2}{2}$
Масса $M$ сокращается в обеих частях уравнения:
$gh = \frac{v^2}{2}$
Отсюда скорость у подножия горки:
$v = \sqrt{2gh}$
Как видно из формулы, скорость в конце спуска зависит только от высоты горки $h$ и не зависит от массы. Следовательно, оба мальчика на одинаковых санках достигнут подножия горки с одинаковой скоростью $v$.

2. Этап 2: Движение по горизонтальному участку.
На этом этапе санки движутся до полной остановки под действием силы трения. Воспользуемся теоремой о кинетической энергии, согласно которой работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии.
Начальная кинетическая энергия (у подножия горки): $E_{k_{нач}} = \frac{Mv^2}{2}$.
Конечная кинетическая энергия (после остановки): $E_{k_{кон}} = 0$.
Работа силы трения $A_{тр}$ отрицательна, так как сила трения направлена против движения:
$A_{тр} = -F_{тр} \cdot l$
Сила трения $F_{тр} = \mu N$, где $N$ - сила нормальной реакции опоры. На горизонтальной поверхности $N = Mg$. Таким образом, $F_{тр} = \mu Mg$.
Работа силы трения: $A_{тр} = -\mu Mg l$.
Приравняем работу изменению кинетической энергии:
$A_{тр} = E_{k_{кон}} - E_{k_{нач}}$
$-\mu Mg l = 0 - \frac{Mv^2}{2}$
$-\mu Mg l = -\frac{Mv^2}{2}$
Снова общая масса $M$ сокращается, как и знак "минус":
$\mu g l = \frac{v^2}{2}$
Выразим тормозной путь $l$:
$l = \frac{v^2}{2\mu g}$
Мы уже установили, что начальная скорость $v$ для обоих мальчиков одинакова. Коэффициент трения $\mu$ и ускорение свободного падения $g$ также являются постоянными величинами. Следовательно, тормозной путь $l$ не зависит от массы и будет одинаковым для обоих мальчиков.
Подставив выражение для скорости из первого этапа, получим:
$l = \frac{2gh}{2\mu g} = \frac{h}{\mu}$
Эта формула наглядно показывает, что тормозной путь зависит только от высоты горки и коэффициента трения на горизонтальном участке.

Ответ: Путь, который пройдет каждый из мальчиков по горизонтальному участку до остановки, будет одинаковый. Это объясняется тем, что и скорость, приобретенная при скатывании с горки, и последующее замедление из-за трения на горизонтальном участке не зависят от массы системы "мальчик + санки".