Номер 11.2, страница 77 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Законы сохранения в механике. 11. Механическая работа. Энергия. Закон сохранения энергии. Упражнения - номер 11.2, страница 77.

Условие.

11.2. Какая минимальная работа А совершается при подъеме на крышу веревки длиной $l = 40$ м и массой $m = 6$ кг? В начальный момент вся веревка свешивалась вертикально с края крыши.

☑ A = 1,2 кДж.

Решение. При подъеме приходится преодолевать силу тяжести только той части веревки, которая все еще свешивается вниз. В тот момент, когда длина вытянутой части веревки равна $\text{x}$, для равномерного подъема требуется прикладывать силу $F(x) = mg(l - x)/l$. Работа, совершаемая этой силой при изменении $\text{x}$ от $\text{0}$ до $\text{l}$, численно равна площади под графиком $F(x)$ (см. рисунок): $A = mgl/2 = 1,2$ (кДж).

Можно также вычислить работу по подъему тела следующим образом: $A = mg\Delta h$, где $\Delta h$ — изменение высоты центра тяжести тела (в данном случае $\Delta h = l/2$).

Решение.

Дано:

Длина веревки, $l = 40$ м

Масса веревки, $m = 6$ кг

Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Минимальную работу $A$

Решение:

Минимальная работа, совершаемая при подъеме, равна изменению потенциальной энергии системы. Эту задачу можно решить двумя способами, которые приводят к одному и тому же результату.

Способ 1. Через изменение положения центра тяжести

Работа по подъему тела в поле силы тяжести равна произведению веса тела на высоту, на которую был поднят его центр тяжести.

Формула для работы: $A = P \cdot \Delta h = mg\Delta h$, где $\Delta h$ — это вертикальное перемещение центра тяжести.

Поскольку веревка однородна, ее центр тяжести находится ровно посередине. В начальном положении, когда вся веревка свешивается с крыши, ее центр тяжести находится на расстоянии $\frac{l}{2}$ ниже края крыши.

В конечном положении вся веревка находится на крыше. Следовательно, ее центр тяжести поднят на высоту $\Delta h = \frac{l}{2}$.

Подставим это значение в формулу для работы:

$A = mg\frac{l}{2}$

Теперь выполним вычисления, подставив данные из условия:

$A = 6 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \frac{40 \text{ м}}{2} = 60 \text{ Н} \cdot 20 \text{ м} = 1200 \text{ Дж}$

Переведем результат в килоджоули, зная, что 1 кДж = 1000 Дж:

$A = 1.2 \text{ кДж}$

Способ 2. С помощью интегрирования (графический метод)

При подъеме веревки сила, которую необходимо прикладывать, не является постоянной. Она равна весу той части веревки, которая все еще свешивается, и уменьшается по мере втягивания веревки на крышу.

Пусть $x$ — это длина части веревки, которую уже подняли на крышу. Тогда длина свешивающейся части равна $(l-x)$.

Линейная плотность веревки $\rho = \frac{m}{l}$. Масса свешивающейся части $m_{ост} = \rho \cdot (l-x) = \frac{m}{l}(l-x)$.

Сила, необходимая для подъема в данный момент, равна весу этой части: $F(x) = m_{ост}g = \frac{mg}{l}(l-x)$.

Эта сила линейно убывает с увеличением $x$:

• В начале подъема ($x=0$): $F(0) = \frac{mg}{l}(l-0) = mg$
• В конце подъема ($x=l$): $F(l) = \frac{mg}{l}(l-l) = 0$

Работу переменной силы можно вычислить как площадь под графиком зависимости силы от перемещения $F(x)$. Этот график представляет собой прямоугольный треугольник, где один катет — это полное перемещение $l$, а другой — начальная сила $mg$.

Площадь треугольника (и, соответственно, работа) равна:

$A = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot l \cdot (mg) = \frac{mgl}{2}$

Эта формула полностью совпадает с полученной в первом способе, и расчеты приведут к тому же результату:

$A = \frac{6 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 40 \text{ м}}{2} = 1200 \text{ Дж} = 1.2 \text{ кДж}$

Ответ: $1.2$ кДж.