Номер 39, страница 74 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Законы сохранения в механике. 10. Импульс. Закон сохранения импульса. Олимпиадные задачи - номер 39, страница 74.

Условие.

O-39. Ракета влетает в пылевое облако со скоростью $\text{v}$ относительно облака. Пылинки оказались липкими: они со- ударялись с ракетой неупруго. Чтобы скорость движения не изменялась, пришлось включить двигатель, развиваю- щий силу тяги $\text{F}$. Какая была бы нужна сила тяги для сохранения скорости, если бы ракета: а) влетела в то же облако со скоростью $2v$; б) влетела со скоростью $\text{v}$ в дру- гое облако, где концентрация частиц (т. е. число частиц в единице объема) в три раза больше?

☑ Чтобы двигаться вдвое быстрее, силу тяги надо уве- личить в 4 раза; в более плотной части облака силу тяги надо увеличить в 3 раза.

Решение. При неупругом столкновении пылинки с раке- той ракета сообщает пылинке скорость, равную скорости ракеты, передавая тем самым пылинке и часть своего им- пульса. Импульс силы тяги двигателя должен компенси- ровать передачу импульса пылинкам за любой промежу- ток времени $\Delta t$: $F \Delta t = N m v$ (здесь $\text{m}$ — масса пылинки; $\text{N}$ — число частиц, столкнувшихся с ракетой за время $\Delta t$). Очевидно, $\text{N}$ зависит от скорости $\text{v}$ и «густоты» облака частиц. Обозначим через $\text{n}$ концентрацию частиц в об- лаке. Если площадь поперечного сечения ракеты $\text{S}$, то за время $\Delta t$ она столкнется со всеми частицами в объе- ме $S v \Delta t$. Значит, $N = n S v \Delta t$ и $F = n m v^2 S$. Мы видим, что $\text{F}$ пропорциональна концентрации частиц $\text{n}$ и квадрату скорости $\text{v}$. Итак, можно сделать следующий вывод: что- бы двигаться вдвое быстрее, силу тяги надо увеличить в 4 раза; в более плотной части облака силу тяги надо уве- личить в 3 раза.

Решение.

Дано:

Начальная скорость ракеты: $v$
Начальная концентрация частиц в облаке: $n$
Начальная сила тяги: $F$
а) Новая скорость ракеты: $v_a = 2v$
б) Новая концентрация частиц: $n_b = 3n$

Найти:

а) Новую силу тяги $F_a$
б) Новую силу тяги $F_b$

Решение:

Движение ракеты с постоянной скоростью означает, что равнодействующая всех сил, приложенных к ракете, равна нулю. На ракету действуют две силы: сила тяги двигателя $F$ и сила сопротивления $F_{сопр}$ со стороны пылевого облака. Таким образом, для поддержания постоянной скорости необходимо, чтобы сила тяги компенсировала силу сопротивления: $F = F_{сопр}$.

Сила сопротивления возникает из-за того, что ракета непрерывно сталкивается с пылинками и сообщает им импульс. По второму закону Ньютона, сила равна изменению импульса в единицу времени.

Найдем массу пылинок, с которыми ракета сталкивается за промежуток времени $\Delta t$. Пусть $S$ — площадь поперечного сечения ракеты. За время $\Delta t$ ракета пролетит объем пространства $V = S \cdot v \cdot \Delta t$.

Если концентрация частиц в облаке равна $n$ (число частиц на единицу объема), а масса одной частицы — $m$, то масса пыли, встретившейся ракете за время $\Delta t$, будет равна: $M_{пыли} = n \cdot V \cdot m = n \cdot (S v \Delta t) \cdot m = n m S v \Delta t$

До столкновения пылинки покоились (в системе отсчета, связанной с облаком), их импульс был равен нулю. После столкновения они прилипают к ракете (неупругое соударение) и движутся вместе с ней со скоростью $v$. Изменение импульса массы пыли $M_{пыли}$ за время $\Delta t$ составляет: $\Delta p = M_{пыли} \cdot v - 0 = (n m S v \Delta t) \cdot v = n m S v^2 \Delta t$

Сила, с которой ракета действует на пыль, равна $F_{ракета \rightarrow пыль} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = n m S v^2$. По третьему закону Ньютона, сила сопротивления, действующая со стороны пыли на ракету, равна по модулю и противоположна по направлению: $F_{сопр} = n m S v^2$

Следовательно, для равномерного движения сила тяги должна быть: $F = n m S v^2$

Эта формула показывает, что сила тяги пропорциональна концентрации частиц $n$ и квадрату скорости $v^2$. Теперь решим подзадачи.

а)

Ракета влетает в то же облако (концентрация $n$ не меняется) со скоростью $v_a = 2v$. Новая сила тяги $F_a$ будет: $F_a = n m S (v_a)^2 = n m S (2v)^2 = 4(n m S v^2)$

Поскольку $F = n m S v^2$, то $F_a = 4F$.

Ответ: Чтобы ракета влетела в то же облако со скоростью $2v$, силу тяги нужно увеличить в 4 раза.

б)

Ракета влетает со скоростью $v$ в облако с концентрацией $n_b = 3n$. Новая сила тяги $F_b$ будет: $F_b = n_b m S v^2 = (3n) m S v^2 = 3(n m S v^2)$

Поскольку $F = n m S v^2$, то $F_b = 3F$.

Ответ: Чтобы ракета влетела со скоростью $v$ в облако с концентрацией частиц в три раза большей, силу тяги нужно увеличить в 3 раза.