Номер 35, страница 69 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Динамика. 9. Элементы статики. Олимпиадные задачи - номер 35, страница 69.

Условие.

O-35. Тонкий однородный стержень укреплен на шарнире в точке A и удерживается в равновесии горизонтальной нитью (см. рисунок). Масса стержня $m = 1$ кг, угол его наклона к горизонту $\alpha = 45^\circ$. Найдите величину и направление силы $\vec{N}$ реакции шарнира.

☑ $N = 11$ H; сила $\text{N}$ образует с вертикалью угол $\beta = 27^\circ$.

Решение.

На рисунке показаны действующие на стержень силы (направление искомой силы $\vec{N}$ указано ориентировочно).

Приравняв нулю алгебраическую сумму моментов сил относительно точки A, получим

$T \cdot AB \sin \alpha - mg \frac{AB}{2} \cos \alpha = 0$.

Отсюда $T = \frac{mg}{2} \operatorname{ctg} \alpha$. Из равенства нулю равнодействующей всех трех сил следует: $N_x = T, N_y = mg$. Тогда

$N = \sqrt{N_x^2 + N_y^2} = \frac{mg}{2} \sqrt{4 + \operatorname{ctg}^2 \alpha} = 11$ (Н). Угол $\beta$, образованный силой $\vec{N}$ с вертикалью, находим из соотношения

$\operatorname{tg}\beta = \frac{N_x}{N_y} = \frac{\operatorname{ctg}\alpha}{2}$; отсюда $\beta = \operatorname{arctg}\left(\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{2}\right) = 27^\circ$. Обратите внимание, что линии действия всех трех сил пересекаются в одной точке: как следует из правила моментов, это необходимое условие равновесия твердого тела.

Решение.

Дано:

$m = 1$ кг

$\alpha = 45^\circ$

$g \approx 9.8$ м/с² (ускорение свободного падения)

Найти:

$N$ - ?

$\beta$ - ? (направление силы реакции $\vec{N}$)

Решение:

На стержень действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, приложенная к центру масс стержня (его середине); сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная горизонтально; и сила реакции шарнира $\vec{N}$, приложенная в точке A. Так как стержень находится в равновесии, должны выполняться два условия равновесия:

1. Векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю (равновесие поступательного движения).

2. Сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю (равновесие вращательного движения).

Запишем первое условие равновесия в проекциях на оси координат (ось Ox — горизонтальная, ось Oy — вертикальная):

Проекция на ось Ox: $N_x - T = 0 \implies N_x = T$

Проекция на ось Oy: $N_y - mg = 0 \implies N_y = mg$

Здесь $N_x$ и $N_y$ — компоненты силы реакции шарнира $\vec{N}$.

Запишем второе условие равновесия — равенство нулю суммы моментов сил относительно точки A. Момент силы реакции $\vec{N}$ относительно этой точки равен нулю. Пусть L — длина стержня.

$\sum M_A = 0$

Момент силы натяжения $\vec{T}$ (вращает против часовой стрелки, считаем положительным): $M_T = T \cdot L \cdot \sin\alpha$

Момент силы тяжести $m\vec{g}$ (вращает по часовой стрелке, считаем отрицательным): $M_{mg} = -mg \cdot \frac{L}{2} \cdot \cos\alpha$

Тогда уравнение моментов: $T \cdot L \sin\alpha - mg \frac{L}{2} \cos\alpha = 0$

Сократим на L и выразим силу натяжения T:

$T \sin\alpha = \frac{mg}{2} \cos\alpha$

$T = \frac{mg}{2} \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{mg}{2} \text{ctg}\alpha$

Теперь мы можем найти компоненты силы реакции шарнира:

$N_x = T = \frac{mg}{2} \text{ctg}\alpha$

$N_y = mg$

Подставим числовые значения:

$N_x = \frac{1 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{2} \cdot \text{ctg}45^\circ = \frac{9.8}{2} \cdot 1 = 4.9 \text{ Н}$

$N_y = 1 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 = 9.8 \text{ Н}$

Величина (модуль) силы реакции шарнира находится по теореме Пифагора:

$N = \sqrt{N_x^2 + N_y^2} = \sqrt{(4.9 \text{ Н})^2 + (9.8 \text{ Н})^2} = \sqrt{24.01 + 96.04} = \sqrt{120.05} \approx 10.96 \text{ Н} \approx 11 \text{ Н}$

Направление силы реакции $\vec{N}$ определим как угол $\beta$ с вертикалью. Этот угол можно найти из соотношения компонент:

$\text{tg}\beta = \frac{N_x}{N_y} = \frac{\frac{mg}{2} \text{ctg}\alpha}{mg} = \frac{\text{ctg}\alpha}{2}$

$\text{tg}\beta = \frac{\text{ctg}45^\circ}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$

$\beta = \text{arctg}(0.5) \approx 26.57^\circ \approx 27^\circ$

Ответ: величина силы реакции шарнира $N \approx 11$ Н; сила направлена под углом $\beta \approx 27^\circ$ к вертикали.