Номер 9.11, страница 69 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Динамика. 9. Элементы статики. Упражнения - номер 9.11, страница 69.

Условие.

9.11. В вершинах треугольника помещены шарики равной массы. Найдите положение центра тяжести системы.

☑ Центр тяжести находится в точке пересечения медиан треугольника.

Решение. Центр тяжести шариков 1 и 2 находится в середине соединяющей их стороны треугольника (см. рисунок). Остается найти центр тяжести $\text{O}$ системы, состоящей из шарика массой $\text{m}$ и точки массой $2m$, лежащих на концах медианы треугольника. Точка $\text{O}$ находится на той же медиане и делит ее в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника. Точно так же убеждаемся, что точка $\text{O}$ должна принадлежать и двум другим медианам и делить их в таком же отношении (кстати, мы «физически» доказали хорошо известную геометрическую теорему).

Решение.

Дано:
В вершинах треугольника (обозначим их 1, 2, 3) расположены три шарика одинаковой массы $m$.
$m_1 = m_2 = m_3 = m$

Найти:
Положение центра тяжести системы.

Решение:
Центр тяжести (или центр масс в однородном поле тяжести) системы материальных точек можно найти, используя принцип суперпозиции.
1. Сначала найдем центр масс системы, состоящей из двух шариков, расположенных в вершинах 1 и 2. Так как их массы равны ($m_1=m_2=m$), их общий центр масс будет находиться в середине отрезка, соединяющего эти вершины. Обозначим эту точку М. В этой точке можно мысленно сосредоточить их суммарную массу $m_{12} = m_1 + m_2 = 2m$.
2. Теперь задача сводится к нахождению центра масс системы, состоящей из двух "точек": шарика в вершине 3 с массой $m_3 = m$ и точки М с массой $m_{12} = 2m$.
3. Центр масс О всей системы должен лежать на отрезке, соединяющем вершину 3 и точку М. Этот отрезок (3M) является медианой исходного треугольника, проведенной из вершины 3 к стороне 1-2.
4. Положение центра масс O на отрезке 3M определяется правилом рычага (или определением центра масс). Расстояния от центра масс до точек обратно пропорциональны массам этих точек. Пусть $l_1$ – расстояние от вершины 3 (масса $m$) до точки О, а $l_2$ – расстояние от точки M (масса $2m$) до точки О. Тогда:
$m_3 \cdot l_1 = m_{12} \cdot l_2$
$m \cdot l_1 = 2m \cdot l_2$
Сократив на $m$, получим:
$l_1 = 2l_2$
Это означает, что точка O делит медиану 3M в отношении 2:1, считая от вершины 3.
5. Поскольку выбор первоначальной пары шариков (1 и 2) был произвольным, мы можем повторить рассуждение для любой другой пары. Например, для шариков в вершинах 2 и 3. Их центр масс будет лежать на середине стороны 2-3, и общий центр масс системы должен лежать на медиане, проведенной из вершины 1, и также делить ее в отношении 2:1.
6. Таким образом, центр тяжести системы должен принадлежать всем трем медианам треугольника и делить каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Такая точка в геометрии единственна и называется точкой пересечения медиан (или центроидом) треугольника.

Ответ: Центр тяжести системы находится в точке пересечения медиан треугольника.