Номер 9.4, страница 65 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 9. Элементы статики. Динамика. Механика - номер 9.4, страница 65.

Условие.

9.4. К однородной балке массой $m_1 = 400 \text{ кг}$ и длиной $l = 7 \text{ м}$ подвешен груз массой $m_2 = 700 \text{ кг}$ на расстоянии $a = 2 \text{ м}$ от одного из концов. Балка концами лежит на опорах. Какова сила давления на каждую из опор?

☑ 6,9 кН и 3,9 кН.

Решение. На рисунке показаны действующие на систему силы ($\vec{N_1}$ и $\vec{N_2}$ — силы реакции опор). Два условия равновесия* системы имеют вид $N_1 + N_2 - m_1g - m_2g = 0$ и $N_2l - m_1gl/2 - m_2ga = 0$. Моменты сил вычислены здесь относительно оси, проходящей через точку O (левый конец балки). Из условий равновесия находим:

$N_1 = \frac{1}{2}m_1g + \frac{l-a}{l}m_2g = 6,9(\text{кН})$, $N_2 = \frac{1}{2}m_1g + \frac{a}{l}m_2g = 3,9(\text{кН})$.

Согласно третьему закону Ньютона силы $F_1$ и $F_2$ давления балки на опоры равны по модулю соответствующим силам реакции $N_1$ и $N_2$. Как и следовало ожидать, вес балки распределился между опорами поровну, а вес груза — обратно пропорционально расстояниям до опор.

Решение.

Дано:

Масса балки $m_1 = 400$ кг

Длина балки $l = 7$ м

Масса груза $m_2 = 700$ кг

Расстояние от груза до одного из концов $a = 2$ м

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Силы давления на каждую из опор $F_1$ и $F_2$.

Решение:

На балку, находящуюся в равновесии, действуют следующие силы: сила тяжести балки $m_1\vec{g}$, приложенная к её центру (на расстоянии $l/2$ от края), сила тяжести груза $m_2\vec{g}$, приложенная на расстоянии $a$ от левого края, и силы реакции опор $\vec{N_1}$ (левая опора) и $\vec{N_2}$ (правая опора).

Согласно третьему закону Ньютона, силы давления, которые балка оказывает на опоры ($F_1$ и $F_2$), равны по модулю силам реакции опор:

$F_1 = N_1$

$F_2 = N_2$

Для того чтобы тело находилось в равновесии, необходимо выполнение двух условий:

1. Сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю.

2. Сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю.

Запишем первое условие равновесия в проекции на вертикальную ось OY, направленную вверх:

$N_1 + N_2 - m_1g - m_2g = 0$

Отсюда: $N_1 + N_2 = (m_1 + m_2)g$ (1)

Запишем второе условие равновесия (правило моментов) относительно точки O, в которой расположена левая опора. Примем моменты сил, вращающих балку против часовой стрелки, за положительные, а по часовой стрелке — за отрицательные.

$\sum M_O = 0$

$M(N_1) + M(m_2g) + M(m_1g) + M(N_2) = 0$

Плечи сил: для $N_1$ плечо равно 0, для $m_2g$ — $a$, для $m_1g$ — $l/2$, для $N_2$ — $l$.

$N_1 \cdot 0 - m_2g \cdot a - m_1g \cdot \frac{l}{2} + N_2 \cdot l = 0$

$N_2 \cdot l = m_2g \cdot a + m_1g \cdot \frac{l}{2}$ (2)

Из уравнения (2) выразим силу реакции правой опоры $N_2$:

$N_2 = \frac{m_2ga}{l} + \frac{m_1g}{2}$

Подставим числовые значения:

$N_2 = \frac{700 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²} \cdot 2 \text{ м}}{7 \text{ м}} + \frac{400 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²}}{2} = 1960 \text{ Н} + 1960 \text{ Н} = 3920 \text{ Н}$

Теперь из уравнения (1) найдем силу реакции левой опоры $N_1$:

$N_1 = (m_1 + m_2)g - N_2$

$N_1 = (400 \text{ кг} + 700 \text{ кг}) \cdot 9.8 \text{ м/с²} - 3920 \text{ Н} = 1100 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с²} - 3920 \text{ Н}$

$N_1 = 10780 \text{ Н} - 3920 \text{ Н} = 6860 \text{ Н}$

Силы давления на опоры равны по модулю силам реакции:

$F_1 = N_1 = 6860 \text{ Н} \approx 6.9 \text{ кН}$ (опора, расположенная ближе к грузу)

$F_2 = N_2 = 3920 \text{ Н} \approx 3.9 \text{ кН}$ (другая опора)

Ответ: сила давления на опору, к которой ближе подвешен груз, равна 6,9 кН; сила давления на другую опору равна 3,9 кН.