Номер 33, страница 61 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 8. Применение законов динамики. Динамика. Механика - номер 33, страница 61.

Условие.

O-33. На вертикальной оси электродвигателя укреплен отвес – маленький шарик на нити длиной $l = 12,5 \text{ см}$. При медленном вращении двигателя нить остается вертикальной, а при быстром вращении шарик движется как конический маятник. При какой частоте $n_1$ вращения двигателя нить начинает отклоняться от вертикали? Чему равен угол ее отклонения $\varphi_2$ при частоте вращения $n_2 = 3 \text{ с}^{}$?

☑ $n_1 = 1,4 \text{ с}^{}$; $\varphi_2 = 77^\circ$.

Решение. Рассмотрим движение конического маятника.

Центростремительное ускорение $a = \frac{v^2}{r}$ ему придает равнодействующая сил натяжения нити $\text{T}$ и тяжести $mg$: $\vec{ma} = \vec{mg} + \vec{T}$. Отсюда получаем, что $ma = mgtg\varphi$. Учитывая, что $r = l\sin\varphi$ и $v = 2\pi rn$, приходим к уравнению относительно $\varphi$: $\sin\varphi(4\pi^2n^2l - g/\cos\varphi) = 0$.

Это уравнение имеет при всех $\text{n}$ по крайней мере одно решение $\varphi_1 = 0$. Второе решение $\varphi_2 = \arccos\left(\frac{g}{4\pi^2n^2l}\right)$ появляется при $\frac{g}{4\pi^2n^2l} \le 1$, т. е. при $n > n_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}} = 1,4 \text{ (с}^{})$.

Какой смысл следует приписать наличию двух решений при достаточно быстром вращении? Оба они соответствуют состояниям равновесия в том смысле, что значения $\varphi$ могут оставаться неизменными со временем. Но что произойдет, если вначале $\varphi = 0$, а затем нить случайно отклонится от вертикали на малый угол $\alpha$? Для ответа на этот вопрос удобно перейти во вращающуюся (неинерциальную) систему отсчета. В ней при отклонении нити от вертикали возникает сила инерции $F_{\text{ин}} = ma \approx m\omega^2l\alpha$, направленная от оси вращения, и «возвращающая» сила (равнодействующая $\vec{F}$ и $m\vec{g}$), равная при малых углах $mg\alpha$. Отношение этих сил равно $\frac{\omega^2l}{g} = \frac{4\pi^2n^2l}{g}$. При $n > n_1$ это отношение больше единицы, т. е. сила инерции больше возвращающей силы. Значит, случайно возникшее малое отклонение будет нарастать, и угол $\alpha$ увеличится до $\varphi_2$. Таким образом, при быстром вращении вертикальное положение нити является неустойчивым и реальная система не будет сколько-нибудь долго находиться в этом положении. Итак, при $n \le n_1$ угол $\varphi_1 = 0$; при $n_2 > n_1$ угол $\varphi_2 = \arccos\left(\frac{g}{4\pi^2n^2l}\right)$.

Решение.

Дано:

$l = 12,5 \text{ см}$

$n_2 = 3 \text{ с}^{-1}$

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

$l = 0,125 \text{ м}$

Найти:

$n_1$ - ?

$\phi_2$ - ?

Решение:

Рассмотрим движение шарика в горизонтальной плоскости. На него действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити. Равнодействующая этих сил сообщает шарику центростремительное ускорение $a_ц$, направленное к центру окружности (к оси вращения).

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси:

Ось OY (вертикальная): $T \cos\phi = mg$ (1)

Ось OX (горизонтальная, к центру вращения): $T \sin\phi = ma_ц$ (2)

Центростремительное ускорение $a_ц$ связано с угловой скоростью $\omega$ и радиусом вращения $r$ как $a_ц = \omega^2 r$. Радиус вращения $r = l \sin\phi$, а угловая скорость $\omega = 2\pi n$, где $n$ – частота вращения. Тогда:

$a_ц = (2\pi n)^2 l \sin\phi = 4\pi^2 n^2 l \sin\phi$

Подставим это выражение в уравнение (2):

$T \sin\phi = m (4\pi^2 n^2 l \sin\phi)$

Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{T \sin\phi}{T \cos\phi} = \frac{ma_ц}{mg}$

$\tan\phi = \frac{a_ц}{g}$

Подставим выражение для $a_ц$:

$\tan\phi = \frac{4\pi^2 n^2 l \sin\phi}{g}$

Так как $\tan\phi = \frac{\sin\phi}{\cos\phi}$, получаем:

$\frac{\sin\phi}{\cos\phi} = \frac{4\pi^2 n^2 l \sin\phi}{g}$

Это уравнение имеет два решения. Первое – $\sin\phi = 0$, что соответствует $\phi = 0$. Это означает, что нить висит вертикально, что возможно при любой частоте вращения. Второе решение получается, если $\sin\phi \ne 0$, тогда мы можем сократить на $\sin\phi$:

$\frac{1}{\cos\phi} = \frac{4\pi^2 n^2 l}{g}$

Отсюда находим косинус угла отклонения:

$\cos\phi = \frac{g}{4\pi^2 n^2 l}$

При какой частоте $n_1$ вращения двигателя нить начинает отклоняться от вертикали?

Нить начнет отклоняться от вертикали, когда появится второе, нетривиальное решение для угла $\phi > 0$. Решение для $\cos\phi$ существует только при условии, что правая часть уравнения не превышает 1, то есть $\frac{g}{4\pi^2 n^2 l} \le 1$. Минимальная частота $n_1$, при которой возможно отклонение, соответствует граничному условию, когда $\cos\phi$ становится равным 1 (но при этом угол только начинает становиться больше нуля):

$\frac{g}{4\pi^2 n_1^2 l} = 1$

Отсюда выразим $n_1$:

$n_1^2 = \frac{g}{4\pi^2 l}$

$n_1 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$

Подставим числовые значения:

$n_1 = \frac{1}{2 \cdot 3,14} \sqrt{\frac{9,8 \text{ м/с}^2}{0,125 \text{ м}}} \approx \frac{1}{6,28} \sqrt{78,4 \text{ с}^{-2}} \approx \frac{8,85}{6,28} \approx 1,4 \text{ с}^{-1}$

При частотах $n > n_1$ вертикальное положение становится неустойчивым, и система переходит в состояние с углом отклонения $\phi > 0$.

Ответ: нить начинает отклоняться от вертикали при частоте $n_1 \approx 1,4 \text{ с}^{-1}$.

Чему равен угол ее отклонения $\phi_2$ при частоте вращения $n_2 = 3 \text{ с}^{-1}$?

Поскольку $n_2 = 3 \text{ с}^{-1} > n_1 \approx 1,4 \text{ с}^{-1}$, система будет находиться в устойчивом состоянии с углом отклонения, отличным от нуля. Для нахождения этого угла воспользуемся полученной ранее формулой:

$\cos\phi_2 = \frac{g}{4\pi^2 n_2^2 l}$

Подставим числовые значения:

$\cos\phi_2 = \frac{9,8 \text{ м/с}^2}{4 \cdot (3,14)^2 \cdot (3 \text{ с}^{-1})^2 \cdot 0,125 \text{ м}} \approx \frac{9,8}{4 \cdot 9,86 \cdot 9 \cdot 0,125} \approx \frac{9,8}{44,37} \approx 0,2208$

Теперь найдем сам угол:

$\phi_2 = \arccos(0,2208) \approx 77,25^\circ$

Округляя до целых, получаем $\phi_2 \approx 77^\circ$.

Ответ: $\phi_2 \approx 77^\circ$.