Номер 8.4, страница 59 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 8. Применение законов динамики. Динамика. Механика - номер 8.4, страница 59.

Условие.

8.4. Шарик, подвешенный на нити длиной $\text{l}$, равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости. При этом нить все время образует с вертикалью угол $\varphi$ (такую систему называют коническим маятником). Найдите период $\text{T}$ вращения шарика.

$T = 2\pi \sqrt{\frac{l \cos\varphi}{g}}$

Решение.Согласно второму закону Ньютона $m\vec{a} = m\vec{g} + \vec{F}$. Отсюда (см. рисунок) $a = g \operatorname{tg}\varphi$. С другой стороны,

$a = \frac{v^2}{l \sin\varphi}$. Отсюда $v = \sin\varphi \sqrt{\frac{gl}{\cos\varphi}}$ и

$T = \frac{2\pi l \sin\varphi}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{l \cos\varphi}{g}}$. При $\varphi \ll 1$

получаем $T \approx 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, что совпадает с

периодом малых колебаний математического маятника.

Решение.

Дано:

Длина нити: $l$

Угол отклонения нити от вертикали: $\varphi$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Период вращения шарика: $T$

Решение:

Шарик движется равномерно по окружности в горизонтальной плоскости. Такую систему называют коническим маятником. На шарик действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $\vec{F}$, направленная вдоль нити к точке подвеса. Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма этих сил равна произведению массы шарика на его ускорение:

$m\vec{a} = m\vec{g} + \vec{F}$

Поскольку движение равномерное и круговое, ускорение шарика является центростремительным, оно направлено горизонтально к центру окружности.

Введём систему координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX – горизонтально к центру окружности, по которой движется шарик. Спроецируем уравнение второго закона Ньютона на эти оси.

Проекция на ось OY: В вертикальном направлении шарик не движется, поэтому его ускорение в проекции на эту ось равно нулю. Сумма проекций сил на эту ось также равна нулю.

$F \cos\varphi - mg = 0$

Отсюда можем выразить модуль силы натяжения нити:

$F = \frac{mg}{\cos\varphi}$

Проекция на ось OX: В горизонтальном направлении на шарик действует сила, создающая центростремительное ускорение $a$.

$F \sin\varphi = ma$

Подставим в это уравнение выражение для силы натяжения $F$, полученное ранее:

$\left(\frac{mg}{\cos\varphi}\right) \sin\varphi = ma$

$mg \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi} = ma$

$mg \tan\varphi = ma$

Сократив массу $m$, получим выражение для центростремительного ускорения:

$a = g \tan\varphi$

Центростремительное ускорение также можно выразить через период вращения $T$ и радиус окружности $r$. Радиус окружности, по которой движется шарик, определяется из геометрии: $r = l \sin\varphi$.

Формула для центростремительного ускорения через период: $a = \omega^2 r = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r$.

Подставим сюда выражение для радиуса:

$a = \frac{4\pi^2}{T^2} l \sin\varphi$

Теперь приравняем два полученных выражения для ускорения $a$:

$g \tan\varphi = \frac{4\pi^2 l \sin\varphi}{T^2}$

Заменим $\tan\varphi = \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}$:

$g \frac{\sin\varphi}{\cos\varphi} = \frac{4\pi^2 l \sin\varphi}{T^2}$

Поскольку шарик вращается, угол $\varphi \ne 0$, и мы можем сократить обе части уравнения на $\sin\varphi$:

$\frac{g}{\cos\varphi} = \frac{4\pi^2 l}{T^2}$

Выразим из этого уравнения $T^2$:

$T^2 = \frac{4\pi^2 l \cos\varphi}{g}$

Наконец, извлекая квадратный корень, находим период вращения шарика:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l \cos\varphi}{g}}$

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l \cos\varphi}{g}}$